Différentes distances

Il existe en mathématiques et en informatique de nombreuses façons de calculer la distance entre deux points, cet exercice en étudie trois particulières.

Dans chaque question on étudie une distance différente. On demande à chaque fois d'écrire une fonction prenant en paramètres quatre nombres x_A, y_A, x_B et x_B correspondant aux coordonnées de deux points. Cette fonction renvoie la distance décrite.

assert ?

Le mot clé assert est utilisé en Python afin de vérifier que des propositions sont vraies.

Ainsi, l'instruction assert 3 + 5*7 == 38 permet de vérifier que l'expression 3 + 5*7 est bien évaluée à 38.

Si c'est le cas, le programme continue de se dérouler normalement. Dans le cas contraire, le programme est interrompu et une erreur est signalée.

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1. Distance de Manhattan

C'est la distance parcourue « en suivant les rues » dans le quartier de Manhattan. Elle vaut $12$ dans la figure ci-dessous, quel que soit le chemin suivi :

On la définit comme la somme des « écarts » entre chaque paires de coordonnées des points :

\[\mathrm{manhattan}(x_A,\,y_A,\,x_B,\,y_B) = \lvert x_B - x_A \rvert + \lvert y_B - y_A \rvert\]

Valeur absolue ?

Avec Python, on calcule la valeur absolue de $a$ en faisant abs(a).

Exemples

En prenant $A(2\,;\,-5)$ et $B(-3\,;\,1)$ :

>>> xA, yA = 2, -5
>>> xB, yB = -3, 1
>>> manhattan(xA, yA, xB, yB) 
11

En prenant $A(2\,;\,2)$ et $B(2\,;\,2)$ :

>>> xA, yA = 2, 2
>>> xB, yB = 2, 2
>>> manhattan(xA, yA, xB, yB)
0

Évaluations restantes : 10/10

.128013:pv(ui+2edxms=1 owlSAnatf-)Bh,crgyPkb/050k0j0y0x0g0t0n0q0F0t0x0n0n0o010y0g0c010406050n0f0m0m0x0G0I040u0r0t0f0%0r0w050M0.0:0=0@0,0c041017051a0M1a1c170,0k0g0d0V0X0Z0#0D0g0H0D0t1q0D0y0*050Q0L0t0j1l0Y0!011p1r1t1r0y1z1B1x0y0L0r0k0@1y0G180y0D0V0`0n0c0x0w0#0i011D1n010z0S0j0w0x0m0j1x1#1%1,1F1/1B1=1@0*0a0q0J0G0r0c0r0n0g0}0w0q0O1Z0G0G0j0F2c101`0w180M1X2p0y1V1U1W0k1|0#1t0w1;291x1i1k0W1E2z0g2B0w1R1j1x0c2i182n2p2T0-1$2d2H1-2M0G0;0t0*0p2m2X0+2W1{2Z1F2#2%0*0i2+1%2p2Q0j2p2F2s0k2w2y010F1R1^182 1b2R2.2o2_3d350O2S2X330K0*0O0z3e3i2/1m1F0s0*0q3p3c330w0z0*0;0w0D0x1L1%3x2n330)040e3J3j2:0#0w0*0l0v3P3r2I013M0E3p3w3K3R013T040I3W112,3y3*3#3%3=3s3S3U0C3X2Y3`3!0*3$3:2`3(3Q403,0I3}443d3)403M0B0b3p060q4l463Y1-3l042i0y0f0G0 4c044n3 3Z0w0L0*0x0L0n3~3L0*3O4x3_4B3|3^4e3Z0r0*0A4Q474O043V4I3?0*0B4W4o1F4T040h4)4A2!4D044F4H4M4R1-3M4L2V4`2;0*4a4/334,4V4x4z3z513/4~4X4{4%4j103g2}193b0M392q31102t2s1Q1S2s4F1B2~1j2-5m0P0R0T04.

2. Distance euclidienne

C'est la distance classique du cours de mathématiques (dans le cas où les axes sont perpendiculaires et de même échelle).

On la calcule à l'aide du théorème de Pythagore :

\[\mathrm{euclidienne}(x_A,\,y_A,\,x_B,\,y_B) = \sqrt{(x_B - x_A)^2+(y_B - y_A)^2}\]

Afin de simplifier les calculs, on utilisera ici le carré de la distance euclidienne :

\[\mathrm{euclidienne\_carrée}(x_A,\,y_A,\,x_B,\,y_B) = (x_B - x_A)^2+(y_B - y_A)^2\]

Carré ?

Avec Python, on calcule le carré de $a$ en faisant a**2.

Exemples

En prenant $A(2\,;\,-5)$ et $B(-3\,;\,1)$ :

>>> xA, yA = 2, -5
>>> xB, yB = -3, 1
>>> euclidienne_carre(xA, yA, xB, yB) 
61

En prenant $A(2\,;\,2)$ et $B(2\,;\,2)$ :

>>> xA, yA = 2, 2
>>> xB, yB = 2, 2
>>> euclidienne_carre(xA, yA, xB, yB)
0

Évaluations restantes : 10/10

.128013:pbv(i2+edxms= 1ow_lSAnatf-)Bh,crg*yPku/050k0j0z0y0g0u0n0p0G0u0y0n0n0o010z0g0c010406050n0N0m0m0y0H0K040v0r0u0N0)0r0x050O0:0=0@0_0.0c041219051c0O1c1e190.0k0g0e0X0Z0#0%0E0g0I0E0u1s0E0z0,050S0d0u0j1n0!0$011r1t1v1t0z1B1D1z0z0d0r0k0_1A0H1a0z0E0X0|0n0c0y0x0%0h011F1p010A0U0j0x0y0m0j1z1%1)1.1H1;1D1@1_0,0a0p0L0H0r0c0r0n0g0 0x0p0Q1#0H0H0j0G2e121|0x1a0O1Z2r0z1X1W1Y0k1~0%1v0x1?2b1z1k1m0Y1G2B0g2D0x1T1l1z0c2k1a2p2r2V0/1(2f2J1/2O0H0?0u0,0q2o2Z0-2Y1}2#1H2%2)0,0h2-1)2r2S0j2r2H2u0k2y2A010G1T1`1a311d2T2:2q2{3f370Q2U2Z350M0,0Q0A3g3k2;1o1H0s0,0p3r3e350x0A0,0j0N0Y0g1k1?2D0t0G0@2k3z2p350+040f3Q3l2=0%0x0,0l0w3W3t2K013T0F3r3y3R3Y013!040K3%132.3A3;3,3.3|3u3Z3#0D3(2!413+0,3-3`2|3/3X473?0K444b3f3:473T0C0b3r060p4s4d3)1/3n042k0z0N0H114j044u463*3T3V4E403*3?0l4i2V4G350r0,0B3 4l4N3#3_2X4Y1/4n454T0,0J0J4*3;0m0g2_4X4e3*4U040i4@4v1H4J4/4f0,4h4}4H1/4`4W4E4S3;4g4#3{4%4 0,0C514_4,4.4L5g0%4;4?4E0.0O3i2 1b3d0O3b2s33122v2u1S1U2u0y1C5x5A1l2/5A0R0T0V04.

3. Distance de Tchebytchev

Aux échecs, le roi peut se déplacer d'une case à la fois dans toutes les directions.

Combien de coups lui faut-il pour atteindre une case donnée ? La réponse est donnée par la distance de Tchebytchev.

Sur la figure ci-dessous, les cases marquées sont toutes accessibles en $2$ coups.

Cette distance est égale à l'« écart » maximal entre les coordonnées de chaque point :

\[\mathrm{tchebytchev}(x_A,\,y_A,\,x_B,\,y_B) = \max (\lvert x_B - x_A \rvert ,\,\lvert y_B - y_A \rvert)\]

Maximum ?

Avec Python, on calcule le maximum de deux nombres a et b en faisant max(a, b).

Exemples

En prenant $A(2\,;\,-5)$ et $B(-3\,;\,1)$ :

>>> xA, yA = 2, -5
>>> xB, yB = -3, 1
>>> tchebychev(xA, yA, xB, yB)
6

En prenant $A(2\,;\,2)$ et $B(2\,;\,2)$ :

>>> xA, yA = 2, 2
>>> xB, yB = 2, 2
>>> tchebychev(xA, yA, xB, yB)
0

Évaluations restantes : 10/10

.128013:pv(ui2edxms=1 owlSAnatf-)Bh,crgyPkb/050j0i0x0w0g0s0m0p0E0s0w0m0m0n010x0g0c010406050m0f0l0l0w0F0H040t0q0s0f0$0q0v050L0-0/0;0?0+0c040 1605190L191b160+0j0g0d0U0W0Y0!0C0g0G0C0s1p0C0x0)050P0K0s0i1k0X0Z011o1q1s1q0x1y1A1w0x0K0q0j0?1x0F170x0C0U0_0m0c0w0v0!0h011C1m010y0R0i0v0w0l0i1w1!1$1+1E1.1A1;1?0)0a0p0I0F0q0c0q0m0g0|0v0p0N1Y0F0F0i0E2b0 1_0v170L1W2o0x1U1T1V0j1{0!1s0v1:281w1h1j0V1D2y0g2A0v1Q1i1w0c2h172m2o2S0,1#2c2G1,2L0F0:0s0)0o2l2W0*2V1`2Y1E2!2$0)0h2*1$2o2P0i2o2E2r0j2v2x010E1Q1@172~1a2Q2-2n2^3c340N2R2W320J0)0N0y3d3h2.1l1E0r0)0p3o3b320v0y0)0x0E0C0i0K0H3D0i0d3w2m320(040e3L3i2/0!0v0)0k0u3R3q2H013O0D3o3v3M3T013V040H3Y102+3x3,3%3)3@3r3U3W0B3Z2X3|3$0)3(3=2_3*3S423.0H3 463c3+423O0A0b3o060p4n483!1,3k042h0x0f0F0~4e044p413#0v0K0)0:0k403N0)3Q4z3{4D4F040w0K0m4J3^4L4V4a3~3`4g3#0q0)0z4#494D3W3;2U4$1,4i452S4B3y4Q4S4U4N4;1E3O4M4:4,2Z0)4c4+4q1E4(044*4z4_3,4b4/3?4 0!4i0A4l0 3f2|183a0L382p300 2s2r1P1R2r4S1A2}1i2,5u0O0Q0S04.