Aire sous une courbe (2)

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels (\(a < b\)) et \(f\) une fonction continue telle que l'on ait \(f(x)\ge0\) sur \(\left[a~;~b\right]\). On appelle \(C_f\) la représentation graphique de \(f\) dans un repère orthonormé.

On cherche à calculer une valeur approchée de l'aire du domaine situé entre :

  • l'axe des abscisses ;

  • la courbe \(C_f\) ;

  • les droites d'équations \(x=a\) et \(x=b\).

La figure ci-dessous (à gauche) illustre le problème avec :

  • \(f(x) = \frac12x^3 - \frac12 x^2 - \frac12 x + 1\) ;

  • \(a=-1\) ;

  • \(b = 2\).

Il est possible de calculer cette valeur approchée en utilisant la méthode des rectangles 1 suivante :

  • on découpe l'intervalle \(\left[a~;~b\right]\) en \(n>0\) subdivisions régulières. Chaque subdivision a pour largeur \(\text{d}x=\dfrac{b-a}n\) ;
  • il est possible de numéroter chaque subdivision avec un entier \(0 \leqslant k < n\) ;
  • dans la \(k\)-ième subdivision, on dessine le rectangle de largeur \(\text{d}x\) et de hauteur \(f\left(a+k\text{d}x\right)\) ;
  • la somme des aires de tous les rectangles donne une valeur approchée de l'aire du domaine étudié.

La figure de droite illustre cette méthode dans le cas \(n=16\). La valeur approchée obtenue vaut alors :

\[f(-1)\times\text{d}x+f(-1+\text{d}x)\times\text{d}x+f(-1+2\text{d}x)\times\text{d}x+\dots+f(-1+15\text{d}x)\times\text{d}x\simeq2,4888\]

Il est clair que plus le nombre de subdivisions est important, plus la valeur calculée est proche de la valeur exacte de l'aire cherchée.

Écrire la fonction aire qui prend en paramètres les entiers a et b ainsi que l'entier n strictement positif et renvoie la valeur approchée renvoyée par la méthode des rectangles décrite utilisant \(n\) rectangles.

assert ?

Le mot clé assert est utilisé en Python afin de vérifier que des propositions sont vraies.

Ainsi, l'instruction assert 3 + 5*7 == 38 permet de vérifier que l'expression 3 + 5*7 est bien évaluée à 38.

Si c'est le cas, le programme continue de se dérouler normalement. Dans le cas contraire, le programme est interrompu et une erreur est signalée.

Comparaison de nombres flottants

Lorsqu'on écrit a = x ou x est un nombre réel, la valeur de a enregistrée en machine est une valeur approchée de x (quelques fois la valeur exacte). Cette valeur approchée a la forme d'un nombre flottant (le type float en Python). En conséquence, alors que des calculs et des comparaisons peuvent être effectués de manière exacte sur des réels, ils ne le sont que de manière approchée sur leur représentation en machine. On peut donc obtenir par exemple, avec a = x et b = y, l'expression a == b évaluée à True alors que x et y sont différents.

C'est pourquoi les tests ne vérifient pas l'égalité des résultats et des valeurs attendues mais leur proximité.

Ainsi, on peut vérifier que \(\sqrt{2} \approx 1,414214\) en faisantassert abs(1.414214 - sqrt(2)) < 1e-6. Ce test vérifie que les deux valeurs sont proches à \(10^{-6}\) près.

Exemples 
>>> a = -1
>>> b = 2
>>> aire(a, b, 1)
1.5
>>> aire(a, b, 2)
1.78125
>>> aire(a, b, 4)
2.1328125

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  1. On propose ici une version simplifiée de cette méthode qui considère des rectangles ayant tous la même largeur. ↩