Nombre premier⚓︎

Un nombre premier est un entier positif qui admet exactement deux diviseurs entiers et positifs distincts : $1$ et lui-même. Ainsi :

$0$ n'est pas premier car il est divisible par tous les entiers non nuls ;
$1$ n'est pas premier car il n'admet que lui même comme diviseur ;
$2$ est premier car il n'est divisible que par $1$ et $2$ ;
$6$ n'est pas premier car il admet quatre diviseurs : $1$, $2$, $3$ et $6$.

Divisibilité

$a$ est divisible par $b$ si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ vaut $0$.

Avec Python l'expression a % b est alors évaluée à 0.

Cette définition permet de formuler un test de primalité simple. Considérons un nombre entier positif $n$ :

Si $n$ est strictement inférieur à $2$, il n'est pas premier ;
Sinon, si $n$ est divisible par l'un des entiers compris entre $2$ et $\sqrt{n}$ (inclus l'un et l'autre), alors il n'est pas premier ;
Dans le cas contraire, $n$ est premier.

On demande d'écrire la fonction est_premier qui prend en paramètre un entier $n$ positif ou nul et renvoie True si ce nombre est premier, False dans le cas contraire.

Deux versions, construites autour de boucles for ou while, sont proposées.

Exemples

>>> est_premier(0)
False
>>> est_premier(1)
False
>>> est_premier(2)
True
>>> est_premier(3)
True
>>> est_premier(4)
False
>>> est_premier(31)
True

Version avec une boucle for

Une première approche consiste à utiliser une boucle for afin de parcourir tous les diviseurs potentiels de $n$ entre $2$ et $\sqrt{n}$ (inclus l'un et l'autre).

La fonction permettant de calculer la racine carrée d'un nombre positif fait partie du module math. Elle est importée au début de cette version de l'exercice : from math import sqrt.

Attention toutefois, cette fonction renvoie toujours un nombre flottant : sqrt(5) est évalué à environ 2.23606797749979.

On peut néanmoins arrondir ce résultat à l'entier inférieur ou égal en utilisant int : int(sqrt(5)) est évalué à 2.

On rappelle de plus que l'instruction range(5, 12) parcourt les entiers entre 5 (inclus) et 12 (exclu).

Version videVersion à compléter

Évaluations restantes : 5/5

.339.8722.128013lS^etdA5!f18%umag,_F/R=in{ 6)yàqPhcL\(bsx.p;r4'C90"ov+Tw73êk:é }2I030c0a0b0m0u070K0*0F070m0K0K0t0V0b0u0N0V020x030K0k0l0l0m0P0A02080W070k110W0v0*000m0l0N0O0*0s0a1b0P0C0k0a0K030r181a1c1e160N02031J1C1M0r1J160c0u0X0_0{0}0 0E0u0n0E071!0E0b14030;0J070a1V0|0~0V1Z1#1%1#0b1,1.1*0b0P1K0b0E0_1h0K0N0m0v0 0,0V1:1X0V0g0?0a0v1p0a1*26282d1=2g1.2j0l2l02060*0D0P0W0N0W0K0u1k1m0/240P0P0a0F2G1C2n0v1K0r222S1 21201+0c2p0 1%0v2i2D1*1S1U0`1;2$0u2'0v0W2+1*0N2L1K2Q2S2|17271m2-2e2=0P1b07140*0h2P30152 2o321=3436380,3b283d2Q2#0V3i0m37020*0$3m2R163p3g0 3s3u0*0Q3y3o303q3E380e3I3A3K3C3r0W353t380y3P3e311W3h3U3j3v0#3Z3B3$3D3'3W3v0i3+3R3-3T3V3F0T3?3f3^3M020h0U3I1N2`1C2+2V0c212!3S0F2?2v0.1T1K2_0a2{3c444e0/4m3~2.0V0'0v140g2A0l3I0*3!3L4w021b224B4D3S4v140u1q3U0b4J3,4t4F0K0C0P4R1D3c0x4$4K3^0'140/0g4S3@4U0g141A0b0p4k0l0u0a0P444T2e13020I4}4.33140v534s4 140z0(3P0*5f4C4~1=4)020u4,4!3n5h543h564-591=0W1400070b0O5u3#4t4_143l5o2R4'4t505d5J155g5R5q5v0 5k2L0b0k0P575P5T5E2e0'0F140q3t0K0a5e5g5L5(4x3U5D3L4*5_3S0W0!4N5#2|5%3L0J140P280n5/5P5=1=50526b5i0 5G025I2~6h0V500o5|3 655l0v4Z6m5r0 6e585'5s024W4Y6B3q6A6g6y3r5t6K5U6o5b0z6r4t5x020Y6T2e6j3a6O6C6z5b5O2|0x5S5;6n5k5m6Y6D613c635}140j6;3D5{5$6c0 6V0t0t6|0V6j436$6I146)4#6,6,704u660:5Z6?5p7g5)5+5-6a6*5R7n7i5Y5!757o020Z0P1z3Z0r4p4l457H0r481C0b4a7M2Y2T0m1-7J481I4r6%0V2L0l0p0g0m0'0a0p0E0$141u1w1y1A0*7c3n1N3d1J0G1/0b4=0*2_2B2D0)0*0u0F0u0*7~0a0L1 0%2u2u6v0*7C1S8f0;0u2L0M0*0-070*2'7 0a1j7 0|0*0%1 1/4_0^2i0*040k0X2L0*0c280^1.0_8y2I0n670v0c0^2=0l0J2L8E6v4`0P0K0M7^7W0d0*118B8L0R8a1v0N1.0o881m0g0)8J8'0*0,0U0,0Q8`8P8^0k0^8T282!8Y8!1/4^904e0v0v0k880K0b6^3^1c2F0E4H8a140H0I0,090w0i0,0H0o0e0i0T9F0T0$0$0+0*05390H6S5P8o0x0S1/9e8K0K0R0)0F0P2F0*0m0X2M9q4t9s229v0L9x9z0Q9F0i0y9E0o0U0Q0i9S4B0F1Z0g4y7;8F0J0|1/7g9:9u0m7}9?029y42a29U8+1L020d0N8^0u1y0)1/0B0_9Y0W8Z2L960m0*0l0)224f7 2A2C0Kaw84868s9%1A2E7}679)2i0X8m1l9.2eae9=9@0H6F0b0w9A9C9}9H9J0o9L9N9P390+am620X0)9(2g0Fag0u1l8)0M8o9X8saB9f0*9#9%9(9p9+9-980^2Iadbhafah9@0h9E9T624_071%b68L1/a45ma70^0fao7K0:0=0@02.

Évaluations restantes : 5/5

.339.8722.128013lS^etdA5!f18%umag,_F/R=in{ 6)yàqPhcL\(bsx.p;r4'C90"ov+Tw73êk:é }2I030c0a0b0m0u070K0*0F070m0K0K0t0V0b0u0N0V020x030K0k0l0l0m0P0A02080W070k110W0v0*000m0l0N0O0*0s0a1b0P0C0k0a0K030r181a1c1e160N02031J1C1M0r1J160c0u0X0_0{0}0 0E0u0n0E071!0E0b14030;0J070a1V0|0~0V1Z1#1%1#0b1,1.1*0b0P1K0b0E0_1h0K0N0m0v0 0,0V1:1X0V0g0?0a0v1p0a1*26282d1=2g1.2j0l2l02060*0D0P0W0N0W0K0u1k1m0/240P0P0a0F2G1C2n0v1K0r222S1 21201+0c2p0 1%0v2i2D1*1S1U0`1;2$0u2'0v0W2+1*0N2L1K2Q2S2|17271m2-2e2=0P1b07140*0h2P30152 2o321=3436380,3b283d2Q2#0V3i0m37020*0$3m2R163p3g0 3s3u0*0Q3y3o303q3E380e3I3A3K3C3r0W353t380y3P3e311W3h3U3j3v0#3Z3B3$3D3'3W3v0i3+3R3-3T3V3F0T3?3f3^3M020h0U3I1N2`1C2+2V0c212!3S0F2?2v0.1T1K2_0a2{3c444e0/4m3~2.0V0'0v140g2A0l3I0*3!3L4w021b224B4D3S4v140u1q3U0b4J3,4t4F0K0C0P4R1D3c0x4$4K3^0'140/0g4S3@4U0g141A0b0p4k0l0u0a0P444T2e13020I4}4.33140v534s4 140z0(3P0*5f4C4~1=4)020u4,4!3n5h543h564-591=0W1400070b0O5u3#4t4_143l5o2R4'4t505d5J155g5R5q5v0 5k2L0b0k0P575P5T5E2e0'0F140q3t0K0a5e5g5L5(4x3U5D3L4*5_3S0W0!4N5#2|5%3L0J140P280n5/5P5=1=50526b5i0 5G025I2~6h0V500o5|3 655l0v4Z6m5r0 6e585'5s024W4Y6B3q6A6g6y3r5t6K5U6o5b0z6r4t5x020Y6T2e6j3a6O6C6z5b5O2|0x5S5;6n5k5m6Y6D613c635}140j6;3D5{5$6c0 6V0t0t6|0V6j436$6I146)4#6,6,704u660:5Z6?5p7g5)5+5-6a6*5R7n7i5Y5!757o020Z0P1z3Z0r4p4l457H0r481C0b4a7M2Y2T0m1-7J481I4r6%0V2L0l0p0g0m0'0a0p0E0$141u1w1y1A0*7c3n1N3d1J0G1/0b4=0*2_2B2D0)0*0u0F0u0*7~0a0L1 0%2u2u6v0*7C1S8f0;0u2L0M0*0-070*2'7 0a1j7 0|0*0%1 1/4_0^2i0*040k0X2L0*0c280^1.0_8y2I0n670v0c0^2=0l0J2L8E6v4`0P0K0M7^7W0d0*118B8L0R8a1v0N1.0o881m0g0)8J8'0*0,0U0,0Q8`8P8^0k0^8T282!8Y8!1/4^904e0v0v0k880K0b6^3^1c2F0E4H8a140H0I0,090w0i0,0H0o0e0i0T9F0T0$0$0+0*05390H6S5P8o0x0S1/9e8K0K0R0)0F0P2F0*0m0X2M9q4t9s229v0L9x9z0Q9F0i0y9E0o0U0Q0i9S4B0F1Z0g4y7;8F0J0|1/7g9:9u0m7}9?029y42a29U8+1L020d0N8^0u1y0)1/0B0_9Y0W8Z2L960m0*0l0)224f7 2A2C0Kaw84868s9%1A2E7}679)2i0X8m1l9.2eae9=9@0H6F0b0w9A9C9}9H9J0o9L9N9P390+am620X0)9(2g0Fag0u1l8)0M8o9X8saB9f0*9#9%9(9p9+9-980^2Iadbhafah9@0h9E9T624_071%b68L1/a45ma70^0fao7K0:0=0@02.

Version avec une boucle while

Le calcul d'une racine carrée est coûteux. Il est possible de s'en passer en observant que si $d$ est un entier positif tel que $d \le \sqrt{n}$ alors on a nécessairement $d^2 \le n$.

Cette observation permet de parcourir tous les diviseurs souhaités à l'aide d'une boucle while.

Version videVersion à compléter

Évaluations restantes : 5/5

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Évaluations restantes : 5/5

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