Autour du second degré (1)
Cette page regroupe différents exercices simples sur les polynômes du second degré.
On rappelle qu'une fonction polynôme du second degré est une fonction définie pour tout nombre réel \(x\) par :
dans laquelle \(a\), \(b\) et \(c\) sont des nombres réels avec \(a\) non nul.
Les exercices sont tous indépendants et peuvent être traités dans un ordre quelconque.
assert ?
Le mot clé assert est utilisé en Python afin de vérifier que des propositions sont vraies.
Ainsi, l'expression assert 3 + 5*7 == 38 permet de vérifier que l'expression 3 + 5*7 est bien évaluée à 38.
Si c'est le cas, le programme continue de se dérouler normalement. Dans le cas contraire, le programme est interrompu et une erreur est signalée.
Définir la fonction
Le code contenu dans l'éditeur ci-dessous définit la fonction \(f:x\mapsto 5x^2-9x+3\).
Ajouter en dessous le code définissant la fonction \(g:x\mapsto -3x^2+7x+5\).
Tableau de valeurs
On souhaite dans cet exercice calculer les images de certains nombres par une fonction \(f\).
On considère donc une fonction \(f\) définie dans le corps du programme ainsi qu'une fonction valeurs qui prend en paramètres :
- la fonction dont on souhaite calculer les valeurs ;
- deux nombres entiers
x_minetx_max.
La fonction valeurs renvoie la liste des images par la fonction passée en argument des entiers compris entre \(x_{min}\) et \(x_{max}\) (inclus l'un et l'autre).
On garantit que \(x_{min} \leqslant x_{max}\) et que la fonction polynôme a des coefficients entiers.
Exemples
>>> def f(x):
... return x**2
>>> valeurs(f, 0, 1) # images de 0 et 1 par x ↦ x^2
[0, 1]
>>> valeurs(f, 0, 3) # images de 0, 1, 2 et 3 par x ↦ x^2
[0, 1, 4, 9]
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Représenter la fonction
On souhaite dans cet exercice représenter graphiquement une fonction définie dans le corps du programme.
Pour cela on fournit la fonction dessine qui prend en paramètre une liste points contenant des couples de nombres correspondants aux points à placer dans le graphe et construit la représentation graphique correspondante.
Cette fonction est déjà importée dans l'éditeur. Vous pouvez directement l'utiliser.
Compléter la fonction graphique qui prend en paramètres la fonction à représenter ainsi que trois entiers a, b et n. Cette fonction représente la fonction passée en paramètre en construisant n de ses points dont les abscisses sont uniformément réparties entre a et b.
Cette fonction ne renvoie rien et votre code ne sera donc pas testé. Assurez-vous néanmoins d'obtenir des graphiques correspondants à vos attentes.
On garantit que a est strictement inférieur à b et que n est strictement positif.
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Sommet de la parabole
La représentation graphique d'une fonction du second degré est une parabole.
Si \(h\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=ax^2+bx+c\), le sommet de cette parabole a pour coordonnées \(\left(-\dfrac{b}{2a}~;~h\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)\).
Écrire la fonction sommet qui prend en paramètres les valeurs des coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) et renvoie les coordonnées du sommet de la représentation graphique de la fonction \(x\mapsto ax^2+bx+c\).
On rappelle qu'il est garanti que \(a\) est non nul.
Exemples
>>> sommet(1, 0, 0)
(0.0, 0.0)
>>> sommet(1, -8, 3)
(4.0, -13.0)
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Variations
Les fonctions du second degré n'admettent que deux types de variations. Elles peuvent être :
-
décroissantes sur \(\left]-\infty~;~-\dfrac{b}{2a}\right]\) puis croissantes sur \(\left[-\dfrac{b}{2a}~;~+\infty\right[\);
-
croissantes sur \(\left]-\infty~;~-\dfrac{b}{2a}\right]\) puis décroissantes sur \(\left[-\dfrac{b}{2a}~;~+\infty\right[\).
Écrire la fonction variations qui prend en paramètres les valeurs des coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) et renvoie :
-
"v"si la fonction est décroissante puis croissante ; -
"^"si la fonction est croissante puis décroissante.
Exemples
>>> variations(1, 0, 0)
'v'
>>> variations(-1, -8, 3)
'^'
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