Puissances d'un nombre
On s'intéresse dans cette page à deux problèmes traitant du calcul des puissances d'un nombre strictement positif.
On rappelle que si \(a\) est un nombre réel strictement positif et \(n\) un entier naturel, alors on a :
Par exemple :
assert ?
Le mot clé assert est utilisé en Python afin de vérifier que des propositions sont vraies.
Ainsi, l'instruction assert 3 + 5*7 == 38 permet de vérifier que l'expression 3 + 5*7 est bien évaluée à 38.
Si c'est le cas, le programme continue de se dérouler normalement. Dans le cas contraire, le programme est interrompu et une erreur est signalée.
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Puissances croissantes
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers strictement positifs. \(a\) est différent de \(1\).
Si \(a\) est strictement supérieur à \(1\), les puissances de \(a\) successives sont croissantes.
Considérons par exemple les puissances de \(2\) :
-
\(2^0=1\)
-
\(2^1=2\)
-
\(2^2=4\)
-
\(2^3=8\)
-
...
-
\(2^{8}=256\)
On peut démontrer que, quelle que soit la valeur de \(b\) positif, il existe une certaine puissance de \(a\) supérieure ou égale à \(b\).
Par exemple, en prenant \(a=2\) et \(b = 999\), il faut attendre \(a^{10}=1~024\) pour dépasser \(b\).
On demande d'écrire la fonction puissance_superieure qui :
-
prend en paramètres les entiers
aetb; -
renvoie la première valeur de l'entier
ntelle queapuissancenest supérieure ou égale àb.
Exemples
>>> puissance_superieure(2, 1) # on a 2^0 = 1
0
>>> puissance_superieure(2, 8) # on a 2^3 = 8
3
>>> puissance_superieure(5, 130) # on a 5^3 = 125 et 5^4 = 625
4
# Tests (insensible à la casse)(Ctrl+I)
(Alt+: ; Ctrl pour inverser les colonnes)
(Esc)
Puissances décroissantes
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers strictement positifs. \(a\) est différent de \(1\).
Si \(a\) est strictement inférieur à \(1\), les puissances de \(a\) successives sont décroissantes.
Considérons par exemple les puissances de \(\dfrac12\) :
-
\(\left(\dfrac12\right)^0=1\)
-
\(\left(\dfrac12\right)^1=\dfrac{1}{2}=0,5\)
-
\(\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac{1}{4}=0,25\)
-
\(\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac{1}{8}=0,125\)
-
...
-
\(\left(\dfrac12\right)^{8}=\dfrac{1}{256}=0,00390625\)
On peut démontrer que, quelle que soit la valeur de \(b\) positif, il existe une certaine puissance de \(a\) inférieure ou égale à \(b\).
Par exemple, en prenant \(a=\dfrac{1}{10}\) et \(b = 0,0002\), il faut attendre \(a^{4}=0,0001\) pour être inférieur ou égal à \(b\).
On demande d'écrire la fonction puissance_inferieure qui :
-
prend en paramètres les entiers
aetb; -
renvoie la première valeur de l'entier
ntelle queapuissancenest inférieure ou égale àb.
Exemples
>>> puissance_inferieure(1/2, 1) # (1/2)^0 = 1
0
>>> puissance_inferieure(1/2, 1/8) # (1/2)^3 = 1/8
3
>>> puissance_inferieure(1/10, 0.0002) # (1/10)^3 = 0,001 et (1/10)^4 = 0,0001
4
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# Tests(insensible à la casse)(Ctrl+I)
(Alt+: ; Ctrl pour inverser les colonnes)
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