Puissances d'un nombre

On s'intéresse dans cette page à deux problèmes traitant du calcul des puissances d'un nombre strictement positif.

On rappelle que si $a$ est un nombre réel strictement positif et $n$ un entier naturel, alors on a :

\[ a^n =\begin{cases} 1&\text{ si }n=0\\ a\times \dots \times a \text{ avec }n\text{ facteurs}&\text{ sinon} \end{cases} \]

Par exemple :

\[3^4=3\times3\times3\times3=81\]

assert ?

Le mot clé assert est utilisé en Python afin de vérifier que des propositions sont vraies.

Ainsi, l'instruction assert 3 + 5*7 == 38 permet de vérifier que l'expression 3 + 5*7 est bien évaluée à 38.

Si c'est le cas, le programme continue de se dérouler normalement. Dans le cas contraire, le programme est interrompu et une erreur est signalée.

Puissances croissantes

Soient $a$ et $b$ deux entiers strictement positifs. $a$ est différent de $1$.

Si $a$ est strictement supérieur à $1$, les puissances de $a$ successives sont croissantes.

Considérons par exemple les puissances de $2$ : $Puissances de $2$$

$2^0=1$
$2^1=2$
$2^2=4$
$2^3=8$
...
$2^{8}=256$

On peut démontrer que, quelle que soit la valeur de $b$ positif, il existe une certaine puissance de $a$ supérieure ou égale à $b$.

Par exemple, en prenant $a=2$ et $b = 999$, il faut attendre $a^{10}=1~024$ pour dépasser $b$.

On demande d'écrire la fonction puissance_superieure qui :

prend en paramètres les entiers a et b ;
renvoie la première valeur de l'entier n telle que a puissance n est supérieure ou égale à b.

Exemples

>>> puissance_superieure(2, 1)  # on a 2^0 = 1
0
>>> puissance_superieure(2, 8)  # on a 2^3 = 8
3
>>> puissance_superieure(5, 130)  # on a 5^3 = 125 et 5^4 = 625
4

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Évaluations restantes : 10/10

.128013ben,4vi3mo5_t;Phklpwf(: cga=ry0S6*u/72)s1+d050R0c0n0B0h0s0O0y0z0s0B0O0O0C010n0h0t010406050O0J0j0j0B0D0E040G0k0s0J0,0k0d050K0?0^0`0|0;0t04051c151f0K1c0;0R0h0g0!0$0(0*0q0h0A0q0s1t0q0n0/050V0b0s0c1o0%0)011s1u1w1u0n1C1E1A0n0D1d0n0q0!0 0O0t0B0d0*0M011G1q010v0X0c0d0B0j0c1A1Z1#1*1I1-1E1:1=0/0a0y0p0D0k0t0k0O0h120d0y0T1X0D0D0c0z2a151^0d1d0K1V2n1S1U1T1B0R1`0*1w0d1/271A1l1n0#1H2x0h2z0d0k2D1A0t2g1d2l2n2R0=1!2b2F1+2K0D0_0s0/0P2k2V0:2U1_2X1I2Z2#0/0M2)1#2+2l2w012:0B2$040i2@2m0;2`2.0*2}2 0f322_2V2{380/0l3b343d362|0k2!2~0/0H3i2,2W1p2/3n2;040L3b1g2P152D2q0R1U2v3l0z2L1?1d3F1e3D2T162*053L0T2Q3k3v0*0r0/0T0v3B353!010u0/0y3*3Z2G2|0v0/0t0J0h0(1#0z0c0m0?0t0c0D0h0c0J2g3;2-3,0.040w4a3u3?0d0/0B4g2{4d0e3b3:3+4i0/0b4m3l4d0N0x3i0y4C4r3=2Y3_3{3}0d3 4q3t2{0k0/0C4M4s1+0j0h2%4B4D4N3l4j04143T2^4E4b3?4P044R4)2m4+4h4U4W040F4Y4C4!3,3$040u1s1E4S4F2/4H3|0O3~0c554,1+4.020s0n0o5d4@57044v4;3Y5e1I4d4A5q064D5y4?3e584J4L5q5A3l4.4:2R5G3,4$3`595b5l4O0/0I5R4#4k4|5z4~4t4%5V3,5I5%5#4(5K5!5f0/0Q5*4^4X5w5y5.1I502g0n485,2*5L5+3s0K3W0c2n2O673E1m3G2q2t2o0B1D6a0K3F0;6k0U0W0Y04.

Évaluations restantes : 10/10

.128013ben,4vi3mo5_t;Phklpwf(: cga=ry0S6*u/72)s1+d050R0c0n0B0h0s0O0y0z0s0B0O0O0C010n0h0t010406050O0J0j0j0B0D0E040G0k0s0J0,0k0d050K0?0^0`0|0;0t04051c151f0K1c0;0R0h0g0!0$0(0*0q0h0A0q0s1t0q0n0/050V0b0s0c1o0%0)011s1u1w1u0n1C1E1A0n0D1d0n0q0!0 0O0t0B0d0*0M011G1q010v0X0c0d0B0j0c1A1Z1#1*1I1-1E1:1=0/0a0y0p0D0k0t0k0O0h120d0y0T1X0D0D0c0z2a151^0d1d0K1V2n1S1U1T1B0R1`0*1w0d1/271A1l1n0#1H2x0h2z0d0k2D1A0t2g1d2l2n2R0=1!2b2F1+2K0D0_0s0/0P2k2V0:2U1_2X1I2Z2#0/0M2)1#2+2l2w012:0B2$040i2@2m0;2`2.0*2}2 0f322_2V2{380/0l3b343d362|0k2!2~0/0H3i2,2W1p2/3n2;040L3b1g2P152D2q0R1U2v3l0z2L1?1d3F1e3D2T162*053L0T2Q3k3v0*0r0/0T0v3B353!010u0/0y3*3Z2G2|0v0/0t0J0h0(1#0z0c0m0?0t0c0D0h0c0J2g3;2-3,0.040w4a3u3?0d0/0B4g2{4d0e3b3:3+4i0/0b4m3l4d0N0x3i0y4C4r3=2Y3_3{3}0d3 4q3t2{0k0/0C4M4s1+0j0h2%4B4D4N3l4j04143T2^4E4b3?4P044R4)2m4+4h4U4W040F4Y4C4!3,3$040u1s1E4S4F2/4H3|0O3~0c554,1+4.020s0n0o5d4@57044v4;3Y5e1I4d4A5q064D5y4?3e584J4L5q5A3l4.4:2R5G3,4$3`595b5l4O0/0I5R4#4k4|5z4~4t4%5V3,5I5%5#4(5K5!5f0/0Q5*4^4X5w5y5.1I502g0n485,2*5L5+3s0K3W0c2n2O673E1m3G2q2t2o0B1D6a0K3F0;6k0U0W0Y04.

Puissances décroissantes

Soient $a$ et $b$ deux entiers strictement positifs. $a$ est différent de $1$.

Si $a$ est strictement inférieur à $1$, les puissances de $a$ successives sont décroissantes.

Considérons par exemple les puissances de $\dfrac12$ : $Puissances de $2$$

$\left(\dfrac12\right)^0=1$
$\left(\dfrac12\right)^1=\dfrac{1}{2}=0,5$
$\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac{1}{4}=0,25$
$\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac{1}{8}=0,125$
...
$\left(\dfrac12\right)^{8}=\dfrac{1}{256}=0,00390625$

On peut démontrer que, quelle que soit la valeur de $b$ positif, il existe une certaine puissance de $a$ inférieure ou égale à $b$.

Par exemple, en prenant $a=\dfrac{1}{10}$ et $b = 0,0002$, il faut attendre $a^{4}=0,0001$ pour être inférieur ou égal à $b$.

On demande d'écrire la fonction puissance_inferieure qui :

prend en paramètres les entiers a et b ;
renvoie la première valeur de l'entier n telle que a puissance n est inférieure ou égale à b.

Exemples

>>> puissance_inferieure(1/2, 1)  # (1/2)^0 = 1
0
>>> puissance_inferieure(1/2, 1/8)  # (1/2)^3 = 1/8
3
>>> puissance_inferieure(1/10, 0.0002)  # (1/10)^3 = 0,001 et (1/10)^4 = 0,0001
4

Évaluations restantes : 10/10

.128013ben,4vi3mo5_t;Phklpwf(: cga=ry0S6*u/72)s1+d050R0c0n0B0h0s0O0y0z0s0B0O0O0C010n0h0t010406050O0J0j0j0B0D0E040G0k0s0J0,0k0d050K0?0^0`0|0;0t04051c151f0K1c0;0R0h0g0!0$0(0*0q0h0A0q0s1t0q0n0/050V0b0s0c1o0%0)011s1u1w1u0n1C1E1A0n0D1d0n0q0!0 0O0t0B0d0*0M011G1q010v0X0c0d0B0j0c1A1Z1#1*1I1-1E1:1=0/0a0y0p0D0k0t0k0O0h120d0y0T1X0D0D0c0z2a151^0d1d0K1V2n1S1U1T1B0R1`0*1w0d1/271A1l1n0#1H2x0h2z0d0k2D1A0t2g1d2l2n2R0=1!2b2F1+2K0D0_0s0/0P2k2V0:2U1_2X1I2Z2#0/0M2)1#2+2l2w012:0B2$040i2@2m0;2`2.0*2}2 0f322_2V2{380/0l3b343d362|0k2!2~0/0H3i2,2W1p2/3n2;040L3b1g2P152D2q0R1U2v3l0z2L1?1d3F1e3D2T162*053L0T2Q3k3v0*0r0/0T0v3B353!010u0/0y3*3Z2G2|0v0/0t0J0h0(1#0z0c0m2I0v0c0D0h0c0J2g3;2-3,0.040w4a3u3?0d0/0B4g2{4d0e3b3:3+4i0/0b4m3l4d0N0x3i0y4C4r3=2Y3_3{3}0d3 4q3t2{0k0/0C4M4s1+0j0h2%4B4D4N3l4j04143T2^4E4b3?4P044R4)2m4+4h4U4W040F4Y4C4!3,3$040u1s1E4S4F2/4H3|0O3~0c554,1+4.020A0n0o5d4@57044v4;3Y5e1I4d4A5q064D5y4?3e584J4L5q5A3l4.4:2R5G3,4$3`595b5l4O0/0I5R4#4k4|5z4~4t4%5V3,5I5%5#4(5K5!5f0/0Q5*4^4X5w5y5.1I502g0n485,2*5L5+3s0K3W0c2n2O673E1m3G2q2t2o0B1D6a0K3F0;6k0U0W0Y04.