Puissances d'un nombre

On s'intéresse dans cette page à deux problèmes traitant du calcul des puissances d'un nombre strictement positif.

On rappelle que si $a$ est un nombre réel strictement positif et $n$ un entier naturel, alors on a :

\[ a^n =\begin{cases} 1&\text{ si }n=0\\ a\times \dots \times a \text{ avec }n\text{ facteurs}&\text{ sinon} \end{cases} \]

Par exemple :

\[3^4=3\times3\times3\times3=81\]

assert ?

Le mot clé assert est utilisé en Python afin de vérifier que des propositions sont vraies.

Ainsi, l'instruction assert 3 + 5*7 == 38 permet de vérifier que l'expression 3 + 5*7 est bien évaluée à 38.

Si c'est le cas, le programme continue de se dérouler normalement. Dans le cas contraire, le programme est interrompu et une erreur est signalée.

Puissances croissantes

Soient $a$ et $b$ deux entiers strictement positifs. $a$ est différent de $1$.

Si $a$ est strictement supérieur à $1$, les puissances de $a$ successives sont croissantes.

Considérons par exemple les puissances de $2$ : $Puissances de $2$$

$2^0=1$
$2^1=2$
$2^2=4$
$2^3=8$
...
$2^{8}=256$

On peut démontrer que, quelle que soit la valeur de $b$ positif, il existe une certaine puissance de $a$ supérieure ou égale à $b$.

Par exemple, en prenant $a=2$ et $b = 999$, il faut attendre $a^{10}=1~024$ pour dépasser $b$.

On demande d'écrire la fonction puissance_superieure qui :

prend en paramètres les entiers a et b ;
renvoie la première valeur de l'entier n telle que a puissance n est supérieure ou égale à b.

Exemples

>>> puissance_superieure(2, 1)  # on a 2^0 = 1
0
>>> puissance_superieure(2, 8)  # on a 2^3 = 8
3
>>> puissance_superieure(5, 130)  # on a 5^3 = 125 et 5^4 = 625
4

Version videVersion à trous

Évaluations restantes : 10/10

.1280132mhS)cleP=3tfnp_:avgby;s560or 1(k+*4iwu7d,/050P0i0m0s0L0h0y0E0g0h0s0y0y0k010m0L0p010406050y0N0c0c0s0D0w040e0C0h0N0,0C0o050R0?0^0`0|0;0p04051c151f0R1c0;0P0L0t0!0$0(0*0d0L0u0d0h1t0d0m0/050V0v0h0i1o0%0)011s1u1w1u0m1C1E1A0m0D1d0m0d0!0 0y0p0s0o0*0b011G1q010n0X0i0o0s0c0i1A1Z1#1*1I1-1E1:1=0/0a0E0j0D0C0p0C0y0L120o0E0T1X0D0D0i0g2a151^0o1d0R1V2n1S1U1T1B0P1`0*1w0o1/271A1l1n0#1H2x0L2z0o0C2D1A0p2g1d2l2n2R0=1!2b2F1+2K0D0_0h0/0F2k2V0:2U1_2X1I2Z2#0/0b2)1#2+2l2w012:0s2$040l2@2m0;2`2.0*2}2 0K322_2V2{380/0z3b343d362|0C2!2~0/0A3i2,2W1p2/3n2;040O3b1g2P152D2q0P1U2v3l0g2L1?1d3F1e3D2T162*053L0T2Q3k3v0*0H0/0T0n3B353!010M0/0E3*3Z2G2|0n0/0p0N0L0(1#0g0i0q0?0p0i0D0L0i0N2g3;2-3,0.040G4a3u3?0o0/0s4g2{4d0Q3b3:3+4i0/0v4m3l4d0f0r3i0E4C4r3=2Y3_3{3}0o3 4q3t2{0C0/0k4M4s1+0c0L2%4B4D4N3l4j04143T2^4E4b3?4P044R4)2m4+4h4U4W040B4Y4C4!3,3$040M1s1E4S4F2/4H3|0y3~0i554,1+4.020h0m0x5d4@57044v4;3Y5e1I4d4A5q064D5y4?3e584J4L5q5A3l4.4:2R5G3,4$3`595b5l4O0/0J5R4#4k4|5z4~4t4%5V3,5I5%5#4(5K5!5f0/0I5*4^4X5w5y5.1I502g0m485,2*5L5+3s0R3W0i2n2O673E1m3G2q2t2o0s1D6a0R3F0;6k0U0W0Y04.

Évaluations restantes : 10/10

.1280132mhS)cleP=3tfnp_:avgby;s560or 1(k+*4iwu7d,/050P0i0m0s0L0h0y0E0g0h0s0y0y0k010m0L0p010406050y0N0c0c0s0D0w040e0C0h0N0,0C0o050R0?0^0`0|0;0p04051c151f0R1c0;0P0L0t0!0$0(0*0d0L0u0d0h1t0d0m0/050V0v0h0i1o0%0)011s1u1w1u0m1C1E1A0m0D1d0m0d0!0 0y0p0s0o0*0b011G1q010n0X0i0o0s0c0i1A1Z1#1*1I1-1E1:1=0/0a0E0j0D0C0p0C0y0L120o0E0T1X0D0D0i0g2a151^0o1d0R1V2n1S1U1T1B0P1`0*1w0o1/271A1l1n0#1H2x0L2z0o0C2D1A0p2g1d2l2n2R0=1!2b2F1+2K0D0_0h0/0F2k2V0:2U1_2X1I2Z2#0/0b2)1#2+2l2w012:0s2$040l2@2m0;2`2.0*2}2 0K322_2V2{380/0z3b343d362|0C2!2~0/0A3i2,2W1p2/3n2;040O3b1g2P152D2q0P1U2v3l0g2L1?1d3F1e3D2T162*053L0T2Q3k3v0*0H0/0T0n3B353!010M0/0E3*3Z2G2|0n0/0p0N0L0(1#0g0i0q0?0p0i0D0L0i0N2g3;2-3,0.040G4a3u3?0o0/0s4g2{4d0Q3b3:3+4i0/0v4m3l4d0f0r3i0E4C4r3=2Y3_3{3}0o3 4q3t2{0C0/0k4M4s1+0c0L2%4B4D4N3l4j04143T2^4E4b3?4P044R4)2m4+4h4U4W040B4Y4C4!3,3$040M1s1E4S4F2/4H3|0y3~0i554,1+4.020h0m0x5d4@57044v4;3Y5e1I4d4A5q064D5y4?3e584J4L5q5A3l4.4:2R5G3,4$3`595b5l4O0/0J5R4#4k4|5z4~4t4%5V3,5I5%5#4(5K5!5f0/0I5*4^4X5w5y5.1I502g0m485,2*5L5+3s0R3W0i2n2O673E1m3G2q2t2o0s1D6a0R3F0;6k0U0W0Y04.

Puissances décroissantes

Soient $a$ et $b$ deux entiers strictement positifs. $a$ est différent de $1$.

Si $a$ est strictement inférieur à $1$, les puissances de $a$ successives sont décroissantes.

Considérons par exemple les puissances de $\dfrac12$ : $Puissances de $2$$

$\left(\dfrac12\right)^0=1$
$\left(\dfrac12\right)^1=\dfrac{1}{2}=0,5$
$\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac{1}{4}=0,25$
$\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac{1}{8}=0,125$
...
$\left(\dfrac12\right)^{8}=\dfrac{1}{256}=0,00390625$

On peut démontrer que, quelle que soit la valeur de $b$ positif, il existe une certaine puissance de $a$ inférieure ou égale à $b$.

Par exemple, en prenant $a=\dfrac{1}{10}$ et $b = 0,0002$, il faut attendre $a^{4}=0,0001$ pour être inférieur ou égal à $b$.

On demande d'écrire la fonction puissance_inferieure qui :

prend en paramètres les entiers a et b ;
renvoie la première valeur de l'entier n telle que a puissance n est inférieure ou égale à b.

Exemples

>>> puissance_inferieure(1/2, 1)  # (1/2)^0 = 1
0
>>> puissance_inferieure(1/2, 1/8)  # (1/2)^3 = 1/8
3
>>> puissance_inferieure(1/10, 0.0002)  # (1/10)^3 = 0,001 et (1/10)^4 = 0,0001
4

Évaluations restantes : 10/10

.1280132mhS)cleP=3tfnp_:avgby;s560or 1(k+*4iwu7d,/050P0i0m0s0L0h0y0E0g0h0s0y0y0k010m0L0p010406050y0N0c0c0s0D0w040e0C0h0N0,0C0o050R0?0^0`0|0;0p04051c151f0R1c0;0P0L0t0!0$0(0*0d0L0u0d0h1t0d0m0/050V0v0h0i1o0%0)011s1u1w1u0m1C1E1A0m0D1d0m0d0!0 0y0p0s0o0*0b011G1q010n0X0i0o0s0c0i1A1Z1#1*1I1-1E1:1=0/0a0E0j0D0C0p0C0y0L120o0E0T1X0D0D0i0g2a151^0o1d0R1V2n1S1U1T1B0P1`0*1w0o1/271A1l1n0#1H2x0L2z0o0C2D1A0p2g1d2l2n2R0=1!2b2F1+2K0D0_0h0/0F2k2V0:2U1_2X1I2Z2#0/0b2)1#2+2l2w012:0s2$040l2@2m0;2`2.0*2}2 0K322_2V2{380/0z3b343d362|0C2!2~0/0A3i2,2W1p2/3n2;040O3b1g2P152D2q0P1U2v3l0g2L1?1d3F1e3D2T162*053L0T2Q3k3v0*0H0/0T0n3B353!010M0/0E3*3Z2G2|0n0/0p0N0L0(1#0g0i0q2I0n0i0D0L0i0N2g3;2-3,0.040G4a3u3?0o0/0s4g2{4d0Q3b3:3+4i0/0v4m3l4d0f0r3i0E4C4r3=2Y3_3{3}0o3 4q3t2{0C0/0k4M4s1+0c0L2%4B4D4N3l4j04143T2^4E4b3?4P044R4)2m4+4h4U4W040B4Y4C4!3,3$040M1s1E4S4F2/4H3|0y3~0i554,1+4.020u0m0x5d4@57044v4;3Y5e1I4d4A5q064D5y4?3e584J4L5q5A3l4.4:2R5G3,4$3`595b5l4O0/0J5R4#4k4|5z4~4t4%5V3,5I5%5#4(5K5!5f0/0I5*4^4X5w5y5.1I502g0m485,2*5L5+3s0R3W0i2n2O673E1m3G2q2t2o0s1D6a0R3F0;6k0U0W0Y04.