Puissances d'un nombre
On s'intéresse dans cette page à deux problèmes traitant du calcul des puissances d'un nombre strictement positif.
On rappelle que si \(a\) est un nombre réel strictement positif et \(n\) un entier naturel, alors on a :
Par exemple :
assert
?
Le mot clé assert
est utilisé en Python afin de vérifier que des propositions sont vraies.
Ainsi, l'instruction assert 3 + 5*7 == 38
permet de vérifier que l'expression 3 + 5*7
est bien évaluée à 38
.
Si c'est le cas, le programme continue de se dérouler normalement. Dans le cas contraire, le programme est interrompu et une erreur est signalée.
Puissances croissantes
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers strictement positifs. \(a\) est différent de \(1\).
Si \(a\) est strictement supérieur à \(1\), les puissances de \(a\) successives sont croissantes.
Considérons par exemple les puissances de \(2\) :
-
\(2^0=1\)
-
\(2^1=2\)
-
\(2^2=4\)
-
\(2^3=8\)
-
...
-
\(2^{8}=256\)
On peut démontrer que, quelle que soit la valeur de \(b\) positif, il existe une certaine puissance de \(a\) supérieure ou égale à \(b\).
Par exemple, en prenant \(a=2\) et \(b = 999\), il faut attendre \(a^{10}=1~024\) pour dépasser \(b\).
On demande d'écrire la fonction puissance_superieure
qui :
-
prend en paramètres les entiers
a
etb
; -
renvoie la première valeur de l'entier
n
telle quea
puissancen
est supérieure ou égale àb
.
Exemples
>>> puissance_superieure(2, 1) # on a 2^0 = 1
0
>>> puissance_superieure(2, 8) # on a 2^3 = 8
3
>>> puissance_superieure(5, 130) # on a 5^3 = 125 et 5^4 = 625
4
# Tests
(insensible à la casse)(Ctrl+I)
(Alt+: ; Ctrl pour inverser les colonnes)
(Esc)
Puissances décroissantes
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers strictement positifs. \(a\) est différent de \(1\).
Si \(a\) est strictement inférieur à \(1\), les puissances de \(a\) successives sont décroissantes.
Considérons par exemple les puissances de \(\dfrac12\) :
-
\(\left(\dfrac12\right)^0=1\)
-
\(\left(\dfrac12\right)^1=\dfrac{1}{2}=0,5\)
-
\(\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac{1}{4}=0,25\)
-
\(\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac{1}{8}=0,125\)
-
...
-
\(\left(\dfrac12\right)^{8}=\dfrac{1}{256}=0,00390625\)
On peut démontrer que, quelle que soit la valeur de \(b\) positif, il existe une certaine puissance de \(a\) inférieure ou égale à \(b\).
Par exemple, en prenant \(a=\dfrac{1}{10}\) et \(b = 0,0002\), il faut attendre \(a^{4}=0,0001\) pour être inférieur ou égal à \(b\).
On demande d'écrire la fonction puissance_inferieure
qui :
-
prend en paramètres les entiers
a
etb
; -
renvoie la première valeur de l'entier
n
telle quea
puissancen
est inférieure ou égale àb
.
Exemples
>>> puissance_inferieure(1/2, 1) # (1/2)^0 = 1
0
>>> puissance_inferieure(1/2, 1/8) # (1/2)^3 = 1/8
3
>>> puissance_inferieure(1/10, 0.0002) # (1/10)^3 = 0,001 et (1/10)^4 = 0,0001
4
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