Somme des termes d'une suite

Antoine est un élève pressé : il souhaite faire rapidement son exercice de Maths pour demain.

Tellement rapidement que, plutôt que de simplement relire son cours afin de trouver la formule adaptée, il souhaite utiliser Python afin de faire les calculs à sa place !

Son travail à faire est le suivant :

Somme des termes d'une suite arithmétique

Soit $u$ la suite arithmétique de premier terme $u_0=5$ et de raison $3$.

Justifier que pour tout entier naturel $n$ on a : $u_n=5+3n$.
Calculer la valeur des termes $u_0$, $u_1$, ..., $u_{10}$.
Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$.

Féru de programmation, Antoine sait qu'il peut résoudre le problème en tapant le script ci-dessous :

En construisant la liste au fur et à mesure

termes = []
somme = 0
for n in range(0, 11):
    u = 5 + 3*n
    termes.append(u)
    somme = somme + u

À l'issue de ce script, la variable termes contient toutes les valeurs souhaitées et somme contient la valeur attendue : 220 !

Antoine est satisfait mais... c'est encore trop long ! Il souhaite ne pas écrire plus de deux lignes ! En demandant à son agent conversationnel préféré (ce qui lui prend un peu de temps), il trouve la construction suivante :

Avec une liste en compréhension

termes = [5 + 3*n for n in range(0, 11)]
somme = sum(termes)

Il se gratte la tête, cherche à nouveau des explications sur le net et finit par comprendre :

on utilise une liste en compréhension dont la syntaxe générale est [calcul for variable in ensemble_à_parcourir] ;
cette liste contient tous les termes de la suite souhaités et est affectée à la variable termes ;
la fonction sum de Python additionne tous les éléments d'une liste.

Il trouve donc son résultat. En deux lignes !¹

Utiliser la même démarche (une liste en compréhension puis la fonction sum) afin de calculer les termes décrits ci-dessous et leur somme.

Dans chaque cas, les tests vérifieront :

que la liste termes contient bien tous les termes demandés (dans le bon ordre) ;
que la variable somme contient bien la somme attendue.

assert ?

Le mot clé assert est utilisé en Python afin de vérifier que des propositions sont vraies.

Ainsi, l'instruction assert 3 + 5*7 == 38 permet de vérifier que l'expression 3 + 5*7 est bien évaluée à 38.

Si c'est le cas, le programme continue de se dérouler normalement. Dans le cas contraire, le programme est interrompu et une erreur est signalée.

La vidéo ne s'affiche pas... ?

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1. La même, mais plus loin

Soit $u$ la suite pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $u_n=5+3n$.

Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + u_2 + \dots + u_{430}$.

Évaluations restantes : 10/10

.128013s3obcdufvg/0ly napSr1me,(P2=+4twki][5h*)050g0x0F0r0I0n0b0p0f0n0r0b0b0C010F0I0s010406050b0h0w0w0r0u0o040t0d0n0h0)0d0q050l0:0=0@0_0.0s041219051c0l1c1e190.0g0I0j0X0Z0#0%0M0I0k0M0n1s0M0F0,050S0e0n0x1n0!0$011r1t1v1t0F1B1D1z0F0e0d0g0_1A0u1a0F0M0X0|0b0s0r0q0%0B011F1p010i0U0x0q0r0w0x1z1%1)1.1H1;1D1@1_0,0a0p0A0u0d0s0d0b0I0 0q0p0Q1#0u0u0x0f2e121|0q1a0l1Z2r0F1X1W1Y0g1~0%1v0q1?2b1z1k1m0Y1G2B0I2D0q1T1l1z0s2k1a2p2r2V0/1(2f2J1/2O0u0?0n0,0v2o2Z0-2Y1}2#1H2%2)0,0B2-1)2r2S0x2r2H2u0g2y2A010f1T1`1a311d2T2:2q2{3f370Q2U2Z350q0,0F0x2(0x0b3g040p3e350d0,0C3u3w2p350+040K3u3x2=0%0w0I0,0L3C3K1o1H3z040D3R3E3L013N0,0c3Y3l3!3V0N3)2;3T0%3n0411132.3D3*3:010H0,0i0d0u3.2!3|3=3@2V3`3/2K010d0G0,2M433m0e0,0u1)0k0x3J3Z3|3G0z4p3{4b3$040m4u4a1/3G0y4h3!4x0E0c2,3^2|3S4b3G0O0J3u0.4q4b3=0b0d0=4o4L2q49444b3V3B4#3v4N2$4j04144A4(4C0,4t4,4.2?3o3q1_3t4{4U4^040O4S123i2 1b3d0l3b2s33122v2u1S1U2u0r1C5a5d1l2/5d0R0T0V04.

2. Encore la même, mais on change le début et la fin

Soit $u$ la suite pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $u_n=5+3n$.

Calculer la somme $S = u_{28} + u_{29} + u_{30} + \dots + u_{999}$.

Évaluations restantes : 10/10

.128013s3o8bcdufvg/0ly napSr1me,(P2=+twki][5h*)050h0y0F0s0I0o0b0q0g0o0s0b0b0D010F0I0t010406050b0i0x0x0s0v0p040u0d0o0i0)0d0r050m0:0=0@0_0.0t041219051c0m1c1e190.0h0I0k0X0Z0#0%0M0I0l0M0o1s0M0F0,050S0f0o0y1n0!0$011r1t1v1t0F1B1D1z0F0f0d0h0_1A0v1a0F0M0X0|0b0t0s0r0%0C011F1p010j0U0y0r0s0x0y1z1%1)1.1H1;1D1@1_0,0a0q0B0v0d0t0d0b0I0 0r0q0Q1#0v0v0y0g2e121|0r1a0m1Z2r0F1X1W1Y0h1~0%1v0r1?2b1z1k1m0Y1G2B0I2D0r1T1l1z0t2k1a2p2r2V0/1(2f2J1/2O0v0?0o0,0w2o2Z0-2Y1}2#1H2%2)0,0C2-1)2r2S0y2r2H2u0h2y2A010g1T1`1a311d2T2:2q2{3f370Q2U2Z350r0,0F0y2(0y0b3g040q3e350d0,0D3u3w2p350+040K3u3x2=0%0x0I0,0L3C3K1o1H3z040E3R3E3L013N0,0c3Y3l3!3V0N3)2;3T0%3n0411132.3D3*3:010H0,0j0d0v3.2!3|3=3@2V3`3/2K010d0G0,2M433m0f0,0v1)0l0y3J3Z3|3G0A4p3{4b3$040C0e4u4a1/3G0z4h3!4x0w0n4K4B444b3G0O0J3u0.4q4b3=0b0d0=4o3^2|494N1/3V3B4#2q4%4i0,144M3F0,4t4,3k4C2?3o3q1_3t4_3S4O0,0O4S123i2 1b3d0m3b2s33122v2u1S1U2u0s1C595c1l2/5c0R0T0V04.

3. Tous ensembles

Calculer la somme $S = 1 + 2 + 3 + \dots + 1~000$.

Cette somme se note aussi :

\[S = \sum_{n=1}^{1~000} n\]

Évaluations restantes : 10/10

.128013sobcdufvg/0ly napSr1me,(P2=twki][h)050f0w0C0q0F0m0b0o0e0m0q0b0b0B010C0F0r010406050b0g0v0v0q0t0n040s0c0m0g0!0c0p050k0+0-0/0;0)0r040}1405170k1719140)0f0F0i0S0U0W0Y0I0F0j0I0m1n0I0C0%050N0d0m0w1i0V0X011m1o1q1o0C1w1y1u0C0d0c0f0;1v0t150C0I0S0@0b0r0q0p0Y0A011A1k010h0P0w0p0q0v0w1u1Y1!1)1C1,1y1/1;0%0a0o0z0t0c0r0c0b0F0`0p0o0L1W0t0t0w0e290}1@0p150k1U2m0C1S1R1T0f1_0Y1q0p1.261u1f1h0T1B2w0F2y0p1O1g1u0r2f152k2m2Q0*1Z2a2E1*2J0t0.0m0%0u2j2U0(2T1^2W1C2Y2!0%0A2(1!2m2N0w2m2C2p0f2t2v010e1O1=152|182O2+2l2?3a320L2P2U300p0%0C0w2Z0w0b3b040o39300c0%0B3p3r2k300$040H3p3s2-0Y3i040|0~2)3y3g3G010E0%0h0c0t3x3F1j2.0%3K2Q3N2,3Y0Y0c0D0%2H3W3z3P0p0d0%0t1!0j0w3E3:3)013B0y3|3O3~0v0F2$423(2F3 0%0x3/434a452$0l0l2%3L2@3X4a3B0J0G3p0)3}4a3I0b0c0-3{4m2l3%2V3~3u043w4C3q4o2X3?040 484F4p0%414K4M3Z043k3m3o4W4v1*4q4t0}3d2`16380k362n2~0}2q2p1N1P2p0q1x4.4;1g2*4;0M0O0Q04.

4. Normalement çà fait $0$...

Calculer la somme :

\[\begin{aligned}S &= -79 - 78 - 77 - \dots + 0 + \dots + 77 + 78 + 79\\ &=\sum_{n=-79}^{79} n\end{aligned}\]

Évaluations restantes : 10/10

.128013so8bcdufvg/0ly n7apSr1-me,(P2=twki9][h)050g0z0F0s0I0n0b0p0f0n0s0b0b0E010F0I0t010406050b0h0y0y0s0v0o040u0c0n0h0(0c0q050l0/0;0?0^0-0t041118051b0l1b1d180-0g0I0j0W0Y0!0$0M0I0k0M0n1r0M0F0+050R0e0n0z1m0Z0#011q1s1u1s0F1A1C1y0F0e0c0g0^1z0v190F0M0W0{0b0t0s0q0$0D011E1o010i0T0z0q0s0y0z1y1$1(1-1G1:1C1?1^0+0a0p0C0v0c0t0c0b0I0~0q0p0P1!0v0v0z0f2d111{0q190l1Y2q0F1W1V1X0g1}0$1u0q1=2a1y1j1l0X1F2A0I2C0q1S1k1y0t2j192o2q2U0.1%2e2I1.2N0v0=0n0+0w2n2Y0,2X1|2!1G2$2(0+0D2,1(2q2R0z2q2G2t0g2x2z010f1S1_19301c2S2/2p2`3e360P2T2Y340q0+0F0z2%0z0b3f040p3d340c0+0E3t3v2o340*040L3t3w2;0$3m0410122-3C3k3K010H0+0i0c0v3B3J1n2=0+3O2U3R2:3$0$0c0G0+2L3!3D3T0q0e0+0v1(0k0z3I3@3-013F0B403S423y040x463,2J010y0I0+0r0J4c2Z423F0A3?474e4g0+0d0m4l3E0+0N0K3t0-414e3M0b0c0;3 3P2{3+4m4e493A4L2p4N3l3`04134x3T444Z423M3o3q3s4S3j4d1.3F0N4C113h2~1a3c0l3a2r32112u2t1R1T2t0s1B4^4{1k2.4{0Q0S0U04.

5.

$\rightarrow$

$\rightarrow$ ...

Calculer la somme :

\[S = \sum_{n=1}^{20} n^2\]

Aide

Il s'agit de calculer $S = 1^2 + 2^2+2^2+\dots+20^{2}$.

Évaluations restantes : 10/10

.128013sobcdufvg/ly napSr1me,(P2=twki][h*)050f0v0B0p0E0l0b0n0e0l0p0b0b0A010B0E0q010406050b0g0u0u0p0s0m040r0c0l0g0!0c0o050k0+0-0/0;0)0q040}1405170k1719140)0f0E0i0S0U0W0Y0H0E0j0H0l1n0H0B0%050N0d0l0v1i0V0X011m1o1q1o0B1w1y1u0B0d0c0f0;1v0s150B0H0S0@0b0q0p0o0Y0z011A1k010h0P0v0o0p0u0v1u1Y1!1)1C1,1y1/1;0%0a0n0y0s0c0q0c0b0E0`0o0n0L1W0s0s0v0e290}1@0o150k1U2m0B1S1R1T0f1_0Y1q0o1.261u1f1h0T1B2w0E2y0o1O1g1u0q2f152k2m2Q0*1Z2a2E1*2J0s0.0l0%0t2j2U0(2T1^2W1C2Y2!0%0z2(1!2m2N0v2m2C2p0f2t2v010e1O1=152|182O2+2l2?3a320L2P2U300o0%0B0v2Z0v0b3b040n39300c0%0A3p3r2k300$040G3p3s2-0Y3i040|0~2)3F1j1C3u040I0I3E3z3G010u0E2;3x3N2F010D0%0h0c0s3#3V3O3H0%3K2Q3y3g3W0c0C0%2H3.3_3:010o0d0%0s1!0j0v3U403%3B0x4a2,413Y2$4f2V413B0w3 4g3%4i040z2%3L2@3$1*3B0J0F3p0)3/3%3I0b0c0-494w2l3^4q1*3Q3w4M3q4y2.44040 4k3A0%4e4T4V3;043k3m3o4(4F4z0%0J4D0}3d2`16380k362n2~0}2q2p1N1P2p0p1x4`4}1g2*4}0M0O0Q04.

6. Une histoire de flèche et d'arbre...

Calculer la somme $S = 1 + \dfrac12 + \dfrac14 + \dots+\left(\dfrac12\right)^{15}$.

Cette somme intervient dans un célèbre paradoxe de Zénon.

Évaluations restantes : 10/10

.128013sobcdufvg/0ly napSr1me,(P2=twki][h*)6050f0w0C0q0F0m0b0o0e0m0q0b0b0B010C0F0r010406050b0g0v0v0q0t0n040s0c0m0g0$0c0p050k0-0/0;0?0+0r040 1605190k191b160+0f0F0i0U0W0Y0!0I0F0j0I0m1p0I0C0)050P0d0m0w1k0X0Z011o1q1s1q0C1y1A1w0C0d0c0f0?1x0t170C0I0U0_0b0r0q0p0!0A011C1m010h0R0w0p0q0v0w1w1!1$1+1E1.1A1;1?0)0a0o0z0t0c0r0c0b0F0|0p0o0N1Y0t0t0w0e2b0 1_0p170k1W2o0C1U1T1V0f1{0!1s0p1:281w1h1j0V1D2y0F2A0p1Q1i1w0r2h172m2o2S0,1#2c2G1,2L0t0:0m0)0u2l2W0*2V1`2Y1E2!2$0)0A2*1$2o2P0w2o2E2r0f2v2x010e1Q1@172~1a2Q2-2n2^3c340N2R2W320p0)0C0w2#0w0b3d040o3b320c0)0B3r3t2m320(040H0y3r3u2/0!0v0F2(3H3B3J013w040k3O3i3Q3L2?3V2.1l1E3D0K3!2X3$0!3S0J0J3*3j0)0~102+3A3W3,010E0)0h0c0t3z3I3|3k043@2S3`3#2H3R0D0)2J433P450d0)0t1$0j0w3;3Q3D3G3^2_444c3Y040l4q3|3D0x4h3{4x3M040u0L4B4c3(0G3r0+4i4c460b0c0/4p4u2n4a3+4c3S3y4Z3s4w2Z4k04114M1,4s4;2:3l3n1?3q4*4,3%0)3)4*0+0k3f2|183a0k382p300 2s2r1P1R2r0q1z56591i2,590O0Q0S04.

7. Une énigme de Jacques Ozanam

Il y a un panier et cent cailloux rangés en ligne droite et à des espaces égaux d'une toise².

On propose de les ramasser et les rapporter dans le panier un à un, en allant d'abord chercher le premier, ensuite le second, et ainsi de suite jusqu'au dernier.

Combien de toises doit faire celui qui entreprend cet ouvrage ?

La liste termes contiendra les différentes longueurs parcourues pour ramasser le premier caillou, le deuxième, ..., le centième.

Évaluations restantes : 10/10

.128013sobcdufvg/0ly napSr1me,(P2=twki][h*)050f0w0C0q0F0m0b0o0e0m0q0b0b0B010C0F0r010406050b0g0v0v0q0t0n040s0c0m0g0#0c0p050k0,0.0:0=0*0r040~1505180k181a150*0f0F0i0T0V0X0Z0I0F0j0I0m1o0I0C0(050O0d0m0w1j0W0Y011n1p1r1p0C1x1z1v0C0d0c0f0=1w0t160C0I0T0^0b0r0q0p0Z0A011B1l010h0Q0w0p0q0v0w1v1Z1#1*1D1-1z1:1=0(0a0o0z0t0c0r0c0b0F0{0p0o0M1X0t0t0w0e2a0~1^0p160k1V2n0C1T1S1U0f1`0Z1r0p1/271v1g1i0U1C2x0F2z0p1P1h1v0r2g162l2n2R0+1!2b2F1+2K0t0/0m0(0u2k2V0)2U1_2X1D2Z2#0(0A2)1#2n2O0w2n2D2q0f2u2w010e1P1?162}192P2,2m2@3b330M2Q2V310p0(0C0w2!0w0b3c040o3a310c0(0B3q3s2l310%040H3q3t2.0Z0v0F2=3F3A3H013v040J3M3h3O3j040}0 2*3z3U1k1D0E0(0h0c0t3y3G3%0Z3W3Y2R3#2-3:3P0D0(2I3.3N3`0p0d0(0t1#0j0w3T3_2G013C0y492W3`3J2%4f3B0(0x3 3$4b4i040u0l2(3Z2^3/4b3C0K0G3q0*404b3W0b0c0.484w2m3^4g4b3Q3x4M3r4y2Y4304104k3O4d4!413k3m1=3p4T4V1D4A4D0~3e2{17390k372o2 0~2r2q1O1Q2q0q1y4@4`1h2+4`0N0P0R04.

8. L'astuce qui court

Antoine est tellement content de sa découverte qu'il la raconte à deux amis.

Le lendemain, chacun d'eux partage l'astuce avec deux autres personnes.

Le surlendemain, cela recommence et encore et encore : chaque jour, les personnes ayant découvert l'astuce la veille la partagent avec deux nouvelles personnes.

Par un hasard extraordinaire, chacun s'adresse à une personne qui n'a jamais entendu l'astuce.

Si on considère qu'Antoine a raconté son histoire le premier jour et que le processus est effectué $30$ jours en tout, combien de personnes, Antoine compris, connaîtront l'astuce au total ?

Aide

Il s'agit de calculer $S = 1 + 2^1+2^2+\dots+2^{30}$.

Évaluations restantes : 10/10

.128013s3obcdufvg/0ly napSr1me,(P2=twki][h*)050g0x0D0r0G0n0b0p0f0n0r0b0b0C010D0G0s010406050b0h0w0w0r0u0o040t0d0n0h0$0d0q050l0-0/0;0?0+0s040 1605190l191b160+0g0G0j0U0W0Y0!0J0G0k0J0n1p0J0D0)050P0e0n0x1k0X0Z011o1q1s1q0D1y1A1w0D0e0d0g0?1x0u170D0J0U0_0b0s0r0q0!0B011C1m010i0R0x0q0r0w0x1w1!1$1+1E1.1A1;1?0)0a0p0A0u0d0s0d0b0G0|0q0p0N1Y0u0u0x0f2b0 1_0q170l1W2o0D1U1T1V0g1{0!1s0q1:281w1h1j0V1D2y0G2A0q1Q1i1w0s2h172m2o2S0,1#2c2G1,2L0u0:0n0)0v2l2W0*2V1`2Y1E2!2$0)0B2*1$2o2P0x2o2E2r0g2v2x010f1Q1@172~1a2Q2-2n2^3c340N2R2W320q0)0D0x2#0x0b3d040p3b320d0)0C3r3t2m320(040I3r3u2/0!0w0G2?3G3B3I013w040K0K3N3i3P3k040~102+3A3W1l1E0F0)0i0d0u3z3H3)0!3Y3!2S3%2.3=3Q0E0)2J3:3O3|0q0e0)0u1$0k0x3V3{2H013D0z4b2X3|3K0)0m4h3C0)0y413(4d4k040c2)3#2_3;4d3D0L0H3r0+424d3Y0b0d0/4a4y2n3`4i4d3R3y4O3s4A2Z4504114n3P4f4$433l3n1?3q4V4X1E4C4F0 3f2|183a0l382p300 2s2r1P1R2r0r1z4_4|1i2,4|0O0Q0S04.

après avoir passé beaucoup de temps à saisir un prompt correct dans son agent conversationnel et encore plus à comprendre ce qu'il lui a répondu... ↩
la toise est une unité de longueur mesurant environ $2$ mètres. ↩