Triangle mystérieux

On souhaite dans cet exercice construire une figure géométrique à l'aide d'un processus itératif : nous allons reproduire, à plusieurs reprises, les mêmes étapes de construction.

On considère pour débuter trois points non alignés $A$, $B$ et $C$ formant un triangle et l'on place, à l'intérieur du triangle $ABC$, un point $P$ choisi de manière aléatoire.

Le processus répété est le suivant :

Étape 1: on choisit aléatoirement un des points $A$, $B$ ou $C$;
Étape 2: on construit le milieu du segment d'extrémités $P$ et le sommet choisi à l'étape 1;
Étape 3: on considère désormais que $P$ est le milieu obtenu à l'étape 2.

De façon générale, à chaque étape, on construit un « nouveau » point $P$ à partir du précédent.

Cette construction permet d'obtenir une « jolie » figure... Laquelle ? Pour le savoir, vous devrez réussir l'exercice !

Cet exercice comporte plusieurs questions permettant d'envisager successivement les différentes étapes de la construction.

Les éditeurs associés à chaque question restent toutefois indépendants : vous pouvez les aborder dans l'ordre souhaité.

Dessiner des points

On utilise sur cette page une fonction dessine_point qui prend en paramètre un point et affiche ce point sur une figure. Par exemple, le code ci-dessous permet de dessiner le point A à l'écran :

Utilisation de dessine_point

A = (50, 50)
dessine_point(A)

Cette fonction est déjà chargée dans l'éditeur : il ne faut pas la rédiger. Vous devez simplement l'utiliser !

Reproduire la figure ci-dessous dans laquelle les sommets du rectangle ont pour coordonnées :

$\left(0~;~0\right)$ ;
$\left(400~;~ 0\right)$ ;
$\left(400~;~ 200\right)$ ;
$\left(0~;~ 200\right)$.

Les autres points sont régulièrement espacés de $20$ pixels.

Boucle for

On pourra utiliser une boucle for comme dans l'exemple ci-dessous qui dessine le premier « segment » du rectangle :

for x in range(0, 420, 20):  # x varie entre 0 (inclus) et 420 (exclu), de 20 en 20
    P = (x, 0)
    dessine_point(P)

Évaluations restantes : 10/10

.128013,:ag)1ikn9/S=vmsuhb84y7ex62odt c0(wr5_P3plf050D0y0E0d0h0Q0q0F0G0Q0d0q0q0n010E0h0P010406050q0r0p0p0d0K0w040m0C0Q0r0,0C0j050l0?0^0`0|0;0P04151c051f0l1f1h1c0;0D0h0o0!0$0(0*0s0h0e0s0Q1v0s0E0/050V0t0Q0y1q0%0)011u1w1y1w0E1E1G1C0E0t0C0D0|1D0K1d0E0s0!0 0q0P0d0j0*0B011I1s010R0X0y0j0d0p0y1C1*1,1;1K1@1G1`1|0/0a0F0N0K0C0P0C0q0h120j0F0T1(0K0K0y0G2h151 0j1d0l1$2u0E1!1Z1#0D210*1y0j1_2e1C1n1p0#1J2E0h2G0j1W1o1C0P2n1d2s2u2Y0=1+2i2M1=2R0K0_0Q0/0F0g2r2$0:2#202(1K2*2,2.0B2;1,2?2s2D012{0d2-040F0O2 2t0;322_0*35370F0v3b312$333h2.0L3l3d3n3f340C2+362.0A3s2@2%1r2`3x2|380x3C3e3F3g3H3z380u3L3u3N3w3y3i0k3T2^3V3p040g0H3!3E2N3W3I0g2:162=1e2W152K2x0D2B330G1W1}1d3`1g3^2!3=30053 0T2X3U3-0i0/0R3x3l0F3D3o0/0z4j4l3v0C0J0/2P4p3M3-0j0t0/0K1,0e0y3l4q3V0.040I4G4x1=0p0h0/3*472t4H3-4J0b4w4d4O4Q040v0H3;2!4N1K4X4Z3#3-4P0/0B4S4+4!4-0/0f0c3s0F504k4,3g0/0N4/3,1=0C0/0n57334J4L4T4c4:2)4n4M4`0*4.5h525n014=044^3?53014J0f4 514V5k040T0(2P0y0M2d2P0E5m5j4{4K5P582`555T5e4|5C505E5V04565q5$0*5a045c5*5y5f5X3v0j5l5h5+5z0/4Y5:5s5u4@5w485;5Z5h06515r5Q545G0y5I2G5L0C5N5?4I0/5g4_6b345W5`65045B673t6p4f044h0K5d5@0/0w6D3V4s4u145 6p4z4B4D4F6s5s5=6S6p5u634U6t5~2Y6a5U0*614)6k4W5}6H4;4$4@6,1=5A4~67695{5^5(6/595b6 5R6n5x604$6Y5i6(5|046#2=6%4m046G6V7a5A5!7f6E6d6f5K5M0j5O7j5Y5S7v7o5)6o7k662Y685D5y6}7A7e5{5-5/6$5{6U7B335u4(787P6.6M7a6}7i7R3v7l6`7G5s6}5H2f6g7s7u7$6l7x7=4y6r7^6@7D2=0;0l4a0y2u2V823_1o3{2x2z2v1V1X2x0d1F850l3`7 0T0V0X0q04.

Votre figure

Votre tracé sera ici

Point aléatoire dans un triangle

Le point $P$, utilisé au départ de la construction, doit être choisi aléatoirement à l'intérieur du triangle $ABC$. Nous allons pour ce faire calculer une moyenne pondérée des coordonnées des sommets.

L'idée est la suivante :

on se donne trois points $A~\left(x_A~;~y_A\right)$, $B~\left(x_B~;~y_B\right)$ et $C~\left(x_C~;~y_C\right)$ ;
on choisit aléatoirement trois coefficients strictement positifs $a$, $b$ et $c$ dont la somme est non nulle ;
les coordonnées du point $P$ sont alors :

\[x_P = \frac{a\times x_A+b\times x_B+c\times x_C}{a+b+c}\\ \qquad\qquad\qquad y_P = \frac{a\times y_A+b\times y_B+c\times y_C}{a+b+c}\\ \]

Compléter le code ci-dessous afin de calculer les coordonnées du point $P$.

Évaluations restantes : ∞/∞

.128013:C,»êag)LR1IiknD/SAé=vmsB«uhb.;yxe+2*o-dt c0(wr_P3qplf050O0I0P0g0n0#0y0Q0R0#0g0y0y0v010P0n0!010406050y0B0x0x0g0V0G040s0M0#0B0`0M0p0Q020g0x0!0F0Q0k0I140V0Z0B0I0y050r111315170 0!041v1C051F0r1F1H1C0 0O0n0w0/0;0?0^0C0n0h0C0#1V0C0P0}050*0D0#0I1Q0=0@011U1W1Y1W0P1(1*1$0P0D0M0O171%0V1D0P0C0/1a0y0!0g0p0^0K011,1S010$0,0I0p1i0I1$27292e1.2h1*2k0x2m040a0Q0X0V0M0!0M0y0n1d1f0(250V0V0I0R2H1v2o0p1D0r232T0P2120220O2q0^1Y0p2j2E1$1N1P0:1-2%0n2)0p1}1O1$0!2M1D2R2T2~10281f2/2f2@0V140#0}0l2Q320~312p341.36380}0K3c292T2{0I2T2-2W0O2!2$010R1}2w0%1O1D3q2}3d3n2S053z0(3G3g1R3i0}0H0W0X3I040Q3f333P0^0M0}0v3V3X2R3x0|040T3V3Y3x0p0}0g3)3;3h3#0}0L3_3+3{013?043S0t3 323x3$040J473O2:420}0D4d3Z4f4a3~1w3d3*4841433S0z4j490}4c4o3o4q4e350}0R4w414m4H3!4g440W0c3:404L3-0i4K4l0}0r4V2f3-3/4A3J4R4f433^4%3W3`4L4a4z2~4C4k4E044i4-4@4x4b4Z3Q044G4-4/4f4T3V0 4)4_0G3T503|043(4|554!0}4$305a514,4?5j1.4J5i5o0^435c465v4r4:4y5e4M4{5r5w015u5I5C4*0}5c4v5B4D5t5E5S4^51535M5T5f4n5!5X5x5P4O4Q5N5k044U5W4~4Y5=414#5-5#4M5q4p5s5f4=5 5J435H635.5U4 5^4L435Z3H5J574-0 0r3L3r1E2|1v3t1v0P3v6r2Y2U1|1~2W0g1)6m0r3t1B3N5)012M0x0W0$0g0o0I0W0C0Y0}1n1p1r1t0Q0b3:1I3e1C0q290.1*0.6M2G0y0d0Q2@0B0.1c0,0n0y0I2B0p0.2J0A0Q0w0V0+0.0e250I0$2h0R0n2j0P0.0g0#0u0g0P0M0n2M0y0E0Q0c0I0B0H0N7c0Q0!7t0w7e0Q0f2X1+0h0u0p0u0V0u0.280V0Q0;0Q0$1e2O0n1e3X6l3x1:1X1Z1#6G3=0}740p0O0M0x6!6l3W2j7S75290P6Y1E3e2-7!1Z1=1!2n680^2s2j2l0}2y0s0R0V0{7{0X0G231e3:3F3Y2 3H7=603y0l0}030Q0m1j0M0V7{2J7R7T0p7V8k6i8r0o430$2B7:545J0U0}3X8P8542437,7.8O5n8V8R4.8U5|8K0}0n8y8A5F8X298Z58598V0R8t048v0j6X3z797b7d0p7f0Q7h7j7l7n1t588r4+5F4a5h5(7*048Y7/5{6H4#5;2~8^5|659f3%8:7+8=9m8)9o5l9q3d9s6H6d9v5g9x9k9z8!6f8V9p9c6k3A3p6o6D3D6F0j0g7S7U2H3X9#0C2M0$1T1@0!0y0b0r6D0M0R7p0!8i0C1e0E8z0h0r8M0r0Y0r1Y0D74160r9l0x0E1!0x0#03ac0Eac1$7Z417#827(9d9y7-9A309T3M1v0g3W2M0p0w7m1+0B1f2@0xa81+051o049:7t7.0N977k7m2M1vaO251j8e0.7e2M4}41152G0C140P0I0H0}090T0S099E4B0T2=0:6?0i0Q0)a*4La,23a/a;a?0T0la`3)0Ta;a 0i0E7}6j0(0*0,0y04.

Milieu d'un segment

Soit $M$ et $N$ deux points du plan de coordonnées $\left(x_M~;~y_M\right)$ et $\left(x_N~;~y_N\right)$. Ces points sont représentés en Python par deux couples de nombres (x_M, y_M) et (x_N, y_N).

Écrire la fonction milieu qui prend en paramètres les couples de coordonnées M et N des points $M$ et $M$ et renvoie les coordonnées du milieu de $\left[MN\right]$.

x, y = coords

On rappelle que Python permet facilement de récupérer les différents éléments d'un couple de coordonnées en faisant par exemple :

Récupérer des coordonnées

>>> coords = (3, 5)
>>> x, y = coords
>>> x
3
>>> y
5

~~Entier~~ $\longrightarrow$ Décimal

Lorsque Python effectue une division, il considère toujours que le résultat est un nombre décimal (un nombre flottant dit-on en informatique).

C'est pourquoi l'expression (2 + 6) / 2 est évaluée à 4.0.

Exemples

>>> A = (0, 2)
>>> B = (3, 6)
>>> milieu(A, B)
(1.5, 4.0)
>>> C = (10, 4)
>>> D = (5, -8)
>>> milieu(C, D)
(7.5, -2.0)

Version videVersion à trous

Évaluations restantes : 10/10

.128013,:ag)1iknN/S=vmsuhb4yxe6+2odt cM(wr5_P3plf050C0x0D0d0h0P0q0E0F0P0d0q0q0n010D0h0O010406050q0r0p0p0d0J0v040m0B0P0r0+0B0j050l0=0@0_0{0:0O04141b051e0l1e1g1b0:0C0h0o0Z0#0%0)0s0h0e0s0P1u0s0D0.050U0t0P0x1p0$0(011t1v1x1v0D1D1F1B0D0t0B0C0{1C0J1c0D0s0Z0~0q0O0d0j0)0A011H1r010Q0W0x0j0d0p0x1B1)1+1:1J1?1F1_1{0.0a0E0M0J0B0O0B0q0h110j0E0S1%0J0J0x0F2g141~0j1c0l1#2t0D1Z1Y1!0C200)1x0j1^2d1B1m1o0!1I2D0h2F0j1V1n1B0O2m1c2r2t2X0;1*2h2L1;2Q0J0^0P0.0g2q2#0/2!1 2%1J2)2+0.0A2/1+2;2r2C012_0d2,040N2}2s0:302@0)33350u382 2#313e0.0K3h3a3j3c320B2*340.0y3h1d2V142J2w0C2A310F1V1|1c3C1f3A2Z152:053H0S2W3q1q1J0i0.0S0Q3y3b3W0)0I0.0E3$3V2M320Q0.0p0W0h0x0r3-2?3(010-040H3{2$3}0j0.0G42313 0b3h3,3%3/45040k483r3 0f0c3o0E4p4d3.2(0.0w0L473P2~2=433/4a4c4A3k0.0v4w4E4e1;0B0.0n4K4s2^464o4q4F3r4g4v4i4y2s4W3}4D4#044r3|4f4H0L4!2X4,4B4M4O4Q4-4t4h4U4p4%4.044v3?1x3_4`4@1J4N044P4*4?490.414*504|4v4x4=5j590.0z574G524:4j4(0.0f5s3r5a0l5A3}3?2{4~5e4X4/543^3`5d5o0)5a5c5n4L1J3 5h2Z5V3d4/5m2:5J3}5a5r5P5!324/4;3Q5.4l5E3/5C5^1;5G042|4*064q5)3/3Y042m0D0r0J135-4R0)5X5w51533@565i5?0.4b6c4{4S044I5M6k5Z6d3~5y3o143S0x2t2U6D3B1n3D2w2y2u1U1W2w0d1E6G0l3C0:6T0T0V0X04.

Évaluations restantes : 10/10

.128013,:ag)1iknN/S=vmsuhb4yxe6+2odt cM(wr5_P3plf050C0x0D0d0h0P0q0E0F0P0d0q0q0n010D0h0O010406050q0r0p0p0d0J0v040m0B0P0r0+0B0j050l0=0@0_0{0:0O04141b051e0l1e1g1b0:0C0h0o0Z0#0%0)0s0h0e0s0P1u0s0D0.050U0t0P0x1p0$0(011t1v1x1v0D1D1F1B0D0t0B0C0{1C0J1c0D0s0Z0~0q0O0d0j0)0A011H1r010Q0W0x0j0d0p0x1B1)1+1:1J1?1F1_1{0.0a0E0M0J0B0O0B0q0h110j0E0S1%0J0J0x0F2g141~0j1c0l1#2t0D1Z1Y1!0C200)1x0j1^2d1B1m1o0!1I2D0h2F0j1V1n1B0O2m1c2r2t2X0;1*2h2L1;2Q0J0^0P0.0g2q2#0/2!1 2%1J2)2+0.0A2/1+2;2r2C012_0d2,040N2}2s0:302@0)33350u382 2#313e0.0K3h3a3j3c320B2*340.0y3h1d2V142J2w0C2A310F1V1|1c3C1f3A2Z152:053H0S2W3q1q1J0i0.0S0Q3y3b3W0)0I0.0E3$3V2M320Q0.0p0W0h0x0r3-2?3(010-040H3{2$3}0j0.0G42313 0b3h3,3%3/45040k483r3 0f0c3o0E4p4d3.2(0.0w0L473P2~2=433/4a4c4A3k0.0v4w4E4e1;0B0.0n4K4s2^464o4q4F3r4g4v4i4y2s4W3}4D4#044r3|4f4H0L4!2X4,4B4M4O4Q4-4t4h4U4p4%4.044v3?1x3_4`4@1J4N044P4*4?490.414*504|4v4x4=5j590.0z574G524:4j4(0.0f5s3r5a0l5A3}3?2{4~5e4X4/543^3`5d5o0)5a5c5n4L1J3 5h2Z5V3d4/5m2:5J3}5a5r5P5!324/4;3Q5.4l5E3/5C5^1;5G042|4*064q5)3/3Y042m0D0r0J135-4R0)5X5w51533@565i5?0.4b6c4{4S044I5M6k5Z6d3~5y3o143S0x2t2U6D3B1n3D2w2y2u1U1W2w0d1E6G0l3C0:6T0T0V0X04.

Figure complète

À ce stade, nous savons :

dessiner des points ;
placer un point aléatoirement à l'intérieur d'un triangle ;
calculer les coordonnées du milieu d'un segment.

Nous pouvons donc, en assemblant ces différents éléments, construire la figure souhaitée.

Quelques dernières remarques :

on propose d'utiliser les points $A$, $B$ et $C$ de coordonnées $A~(0~;~0)$, $B~(500~;~0)$ et $C~(250~;~433)$ mais vous pouvez utiliser d'autres points ;
la fonction milieu est déjà importée dans l'éditeur, vous pouvez directement l'utiliser ;
on propose de répéter le processus de construction $20$ fois. Là encore vous pouvez modifier cette valeur.

Compléter l'éditeur ci-dessous afin de construire la figure souhaitée !

Rappel de l'algorithme de construction

Fixer le nombre de répétitions à 20

Créer les points A, B et C
Créer la liste des sommets contenant les points A, B et C
Dessiner les points A, B et C

Créer les coefficients aléatoires a, b et c
Calculer les coordonnées du point P initial
Dessiner le point P

Répéter "nombre de répétitions" fois :
    Choisir un sommet aléatoire parmi $A$, $B$ et $C$
    Remplacer les coordonnées de P par celles du milieu du segment [P ; sommet aléatoire]
    Dessiner le point P

Choisir un élément aléatoire

On choisira un sommet aléatoire en utilisant la fonction choice du module random :

# Import de la fonction
from random import choice

# La liste dans laquelle nous allons piocher
neveux = ["Riri", "Fifi", "Loulou"]

# Choix d'un neveu aléatoire parmi ceux listés dans « neveux »
neveu_aleatoire = choice(neveux)

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