Autour du second degré (2)
Second degré (1)
Cette page regroupe différents exercices sur la résolution d'équations du second degré et l'étude du signe des fonctions polynômes du second degré.
Il fait suite à cette série d'exercices qui aborde les fonctions du second degré sans s'intéresser à leurs racines.
On s'intéresse dans cet exercice aux équations polynomiales du second degré. On rappelle que ces équations peuvent s'écrire sous la forme :
\[ax^2 + bx + c = 0\]
où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des nombres réels avec \(a\) non nul.
Les exercices sont tous indépendants et peuvent être traités dans un ordre quelconque.
Coefficients et solutions entiers
Dans ces exercices, afin de simplifier les tests, les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) considérés ainsi que les solutions des équations sont des nombres entiers.
Calcul du discriminant
Écrire la fonction delta qui prend en paramètres trois nombres a, b et c (a non nul) et renvoie la valeur du discriminant de l'équation :
\[ax^2+bx+c=0\]
Exemples
>>> delta(1, 2, 1)
0
>>> delta(-1, 2, 1)
8
>>> delta(1, -3, 1)
5
>>> delta(-1, 3, -3)
-3
Tronquer ou non le feedback dans les terminaux (sortie standard & stacktrace / relancer le code pour appliquer)
Si activé, le texte copié dans le terminal est joint sur une seule ligne avant d'être copié dans le presse-papier
.128013 sobcdufvg/ly napSr1-me,(P2=4:twkih*) 050f0w0E0p0H0l0b0n0e0l0p0b0b0B010E0H0q010406050b0g0v0v0p0s0m040r0c0l0g0#0c0o050k0,0.0:0=0*0q040~1505180k181a150*0f0H0i0T0V0X0Z0I0H0j0I0l1o0I0E0(050O0d0l0w1j0W0Y011n1p1r1p0E1x1z1v0E0d0c0f0=1w0s160E0I0T0^0b0q0p0o0Z0A011B1l010h0Q0w0o0p0v0w1v1Z1#1*1D1-1z1:1=0(0a0n0z0s0c0q0c0b0H0{0o0n0M1X0s0s0w0e2a0~1^0o160k1V2n0E1T1S1U0f1`0Z1r0o1/271v1g1i0U1C2x0H2z0o1P1h1v0q2g162l2n2R0+1!2b2F1+2K0s0/0l0(0t2k2V0)2U1_2X1D2Z2#0(0A2)1#2n2O0w2n2D2q0f2u2w010e1P1?162}192P2,2m2@3b330M2Q2V310G0(0M0h3c3g2-1k1D0F0(0n3n3a310o0h3k0w0l0O3v2l310%040y3E3h2.0Z0o0(0p3K3p2G013H0x3n3u3F3M013O040d3R2W3q0Z3V3X3w3!3$0e3)3G0(0K0D3n060n3}3Y3L3+013j042g0E0g0s0}0 2*3 3S2Y0(3(4a2^3/410c0(0J0J3?3!0v0H2=3.3Z4k0(0u4u403T4r0(0C4z4d1D4l044o4h2m4c3*3T3$3Q4L044N314I4K2R4U3:0(3=4S0*0k3e2{17390k372o2 0~2r2q1O1Q2q0p1y4+4.1h2+4.0N0P0R04.
Nombre de solutions
Écrire la fonction nb_solutions qui prend en paramètres trois nombres a, b et c (a non nul) et renvoie le nombre de solutions réelles de l'équation :
\[ax^2+bx+c=0\]
Vous pouvez utiliser la fonction delta de l'exercice précédent dont une version valide est importée dans cet éditeur.
Exemples
>>> nb_solutions(1, 2, 1)
1
>>> nb_solutions(-1, 2, 1)
2
>>> nb_solutions(1, -3, 1)
2
>>> nb_solutions(-1, 3, -3)
0
###(Dés-)Active le code après la ligne
(Ctrl+I)
# Tests (insensible à la casse)(Ctrl+I)
Entrer ou sortir du mode "deux colonnes"
(Alt+: ; Ctrl pour inverser les colonnes)
(Alt+: ; Ctrl pour inverser les colonnes)
Entrer ou sortir du mode "plein écran"
(Esc)
(Esc)
Tronquer ou non le feedback dans les terminaux (sortie standard & stacktrace / relancer le code pour appliquer)
Si activé, le texte copié dans le terminal est joint sur une seule ligne avant d'être copié dans le presse-papier
.128013 s3o_8;bcdufvg/0ly n7apSr1me,(P2=4:twki5h)6 050j0B0J0v0M0q0b0s0i0q0v0b0b0G010J0M0w010406050b0k0A0A0v0y0r040x0d0q0k0+0d0t050o0=0@0_0{0:0w04141b051e0o1e1g1b0:0j0M0m0Z0#0%0)0O0M0n0O0q1u0O0J0.050U0h0q0B1p0$0(011t1v1x1v0J1D1F1B0J0h0d0j0{1C0y1c0J0O0Z0~0b0w0v0t0)0F011H1r010l0W0B0t0v0A0B1B1)1+1:1J1?1F1_1{0.0a0s0E0y0d0w0d0b0M110t0s0S1%0y0y0B0i2g141~0t1c0o1#2t0J1Z1Y1!0j200)1x0t1^2d1B1m1o0!1I2D0M2F0t1V1n1B0w2m1c2r2t2X0;1*2h2L1;2Q0y0^0q0.0z2q2#0/2!1 2%1J2)2+0.0F2/1+2;2r2C012_0v2,040c2}2s0:302@0)33350H382 2#313e0.0N3h3a3j3c320d2*340.0Q3o2=2$1q2^3t2`040u3y3b3B3d3D3v040f3h1d2V142J2w0j2A310i1V1|1c3T1f3R2Z152:053Y0S2W3q3J010L0.0S0l3P3I2M010K0.0s3`3:3|0t0l0.0t0h0e0b0~100M120b412?3;0-040D4g3A430.0v4m314j0C3h403{2(0.0h4r3r4t4v3z3k0.0i4B4i0.0P0I3o0s4P4w424y040j4E4x1J0d0.0G4W4S2^3@0B0q0U4J3|4j4l3*2~4F3r0t4p4-1;4D4;2s4R4h4o044A4}3/504{0.4u544 4n4T4I544?4K040P4O4Q5g3|3?040M3_5a5m4T4V5s4X0)4Z04024+0g4$561J0A0M0.0p4`1J4j4N54064Q5R5b315o2m0J0k0y135w4%0)5H5J5k4P5t1J5o4*5q5E5c4(4U5;315z0G4#5#5F5%5I045K5f5x015N5*5S5,0)5V0T5Y5!2X5T3r5(042.5P5R693=0.4*0b0B5L0)666l5S5+646b5X5Z5^6h602|5P143-0B2t2U6K3S1n3U2w2y2u1U1W2w0v1E6N0o3T0:6!0T0V0X04.
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.128013 s3o_8;bcdufvg/0ly n7apSr1me,(P2=4:twki5h)6 050j0B0J0v0M0q0b0s0i0q0v0b0b0G010J0M0w010406050b0k0A0A0v0y0r040x0d0q0k0+0d0t050o0=0@0_0{0:0w04141b051e0o1e1g1b0:0j0M0m0Z0#0%0)0O0M0n0O0q1u0O0J0.050U0h0q0B1p0$0(011t1v1x1v0J1D1F1B0J0h0d0j0{1C0y1c0J0O0Z0~0b0w0v0t0)0F011H1r010l0W0B0t0v0A0B1B1)1+1:1J1?1F1_1{0.0a0s0E0y0d0w0d0b0M110t0s0S1%0y0y0B0i2g141~0t1c0o1#2t0J1Z1Y1!0j200)1x0t1^2d1B1m1o0!1I2D0M2F0t1V1n1B0w2m1c2r2t2X0;1*2h2L1;2Q0y0^0q0.0z2q2#0/2!1 2%1J2)2+0.0F2/1+2;2r2C012_0v2,040c2}2s0:302@0)33350H382 2#313e0.0N3h3a3j3c320d2*340.0Q3o2=2$1q2^3t2`040u3y3b3B3d3D3v040f3h1d2V142J2w0j2A310i1V1|1c3T1f3R2Z152:053Y0S2W3q3J010L0.0S0l3P3I2M010K0.0s3`3:3|0t0l0.0t0h0e0b0~100M120b412?3;0-040D4g3A430.0v4m314j0C3h403{2(0.0h4r3r4t4v3z3k0.0i4B4i0.0P0I3o0s4P4w424y040j4E4x1J0d0.0G4W4S2^3@0B0q0U4J3|4j4l3*2~4F3r0t4p4-1;4D4;2s4R4h4o044A4}3/504{0.4u544 4n4T4I544?4K040P4O4Q5g3|3?040M3_5a5m4T4V5s4X0)4Z04024+0g4$561J0A0M0.0p4`1J4j4N54064Q5R5b315o2m0J0k0y135w4%0)5H5J5k4P5t1J5o4*5q5E5c4(4U5;315z0G4#5#5F5%5I045K5f5x015N5*5S5,0)5V0T5Y5!2X5T3r5(042.5P5R693=0.4*0b0B5L0)666l5S5+646b5X5Z5^6h602|5P143-0B2t2U6K3S1n3U2w2y2u1U1W2w0v1E6N0o3T0:6!0T0V0X04.
Solutions
Écrire la fonction solutions qui prend en paramètres trois nombres a, b et c (a non nul) et renvoie la liste Python contenant les solutions réelles de l'équation :
\[ax^2+bx+c=0\]
Vous pouvez utiliser la fonction delta du premier exercice dont une version valide est importée dans cet éditeur.
On rappelle qu'il est possible avec Python de calculer la racine carré d'un nombre positif d en faisant sqrt(d). La fonction sqrt est déjà importée dans cet éditeur.
Ordre des solutions
Dans le cas où l'équation possède deux solutions, il est demandé de les renvoyer dans l'ordre suivant :
\[\left[~ \frac{-b \mathbf{-}\sqrt{\Delta}}{2a} ~;~ \frac{-b \mathbf{+}\sqrt{\Delta}}{2a} ~\right]\]
Exemples
>>> solutions(1, -5, 7)
[]
>>> solutions(1, 2, 1)
[-1]
>>> solutions(1, -7, -18)
[-2, 9]
>>> solutions(-1, 7, 18)
[9, -2]
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.128013 s3o_8;bcdufvg/0lyq n7apSr1-me,(P2=4:+twki9][5h*)6 050j0D0M0w0P0q0b0t0i0q0w0b0b0I010M0P0x010406050b0k0C0C0w0z0r040y0d0q0k0=0d0u050o0|0~10120`0x041b1i051l0o1l1n1i0`0j0P0m0*0,0.0:0U0P0n0U0q1B0U0M0^050#0h0q0D1w0-0/011A1C1E1C0M1K1M1I0M0h0d0j121J0z1j0M0U0*150b0x0w0u0:0H011O1y010l0%0D0u0w0C0D1I1:1=1`1Q1}1M20220^0a0t0G0z0d0x0d0b0P180u0t0Z1.0z0z0D0i2n1b250u1j0o1,2A0M1*1)1+0j270:1E0u1 2k1I1t1v0+1P2K0P2M0u1$1u1I0x2t1j2y2A2(0{1;2o2S1{2X0z0 0q0^0t0A2x2,0_2+262.1Q2:2=2@0H2`1=2|2y2J01310w2?040t0c352z0`382 0:3b3d0t0J3h372,393n2@0T3r3j3t3l3a0d2;3c2@0X3y2}2-1x303D323e0v3I3k3L3m3N3F3e0f3R3A3T3C3E3o0Q3Z2~3#3v040A0p3*3K2T3$3O0A2_1c2{3z3+3?3-0A343{361k2$1b2Q2D0j2H390i1$231j481m462*432z054d0Z2%3!3?0O0u0^0l2h0C3r3J390N2@4z3S3 4u040 1,4E4r1{4C3e4L3~1{4t0^0P0C2j0z0M3r0t4A3B4H0b0s4Y3y063}3=4S0^0Z0l4Q4/1Q4O4#4l4q4R300l0^0b15170P190b4@390@040F584%0^0w5d3#5a0E4!4$3,0^0h5h3?5j5l4F2/0^0i5q1{5a0W0K3y0t5E4#5u304;5t4M1Q0d0^0I5K4~3m4;0D0q0#5y1Q5a5c4|5m3 5f5X0:5s4|5G5L5S045p5#5H5*0^5k5,5$5v045x5=5.015A5D5F5{1Q0O4U4?5`5?3a5J6a605N04025V0g5Q4^0:0C0P0^3:5 5R610^5C4|065F6z5-6t67042t0M0k0z1a6e6t5a0S0R635E650:6D5U0P692(6B6m6c040j6l396g0I5P6K6Z6o6q5)6u046w2(6y6A6Q6b6D6F6H6J6X6R6;0S6:6g0B6:4H5;706b6g0o6%3B5Z6:6.04427a6f0^0V7e5n045g6s6Z5A6O6x6z716T0(0D6:5a6?3|6_6`604H0z0w0i2V0D0e6$6,6(5O7p5%044)4+7t590^5!2*6b4H7R7(60627x7H7z0^6}6I7V5z0^0S7%2{7175775o7^5M0^767S5e6E7M7O7Q7D0^0W820:7c8f6;7|446b7i7k2{6Y7T047o867q7s7,6L8d5_7l8y5b7484805:8i6g0L8i7K892M8b7!7f8d8I0^7d8u5r7$7h6p7j8T8s8L5(8Q5i8d7w6@1b4o0D2A2#8;471u492D2F2B1#1%2D0w1L8@0o480`940!0$0(04.
###(Dés-)Active le code après la ligne
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.128013 s3o_8;bcdufvg/0lyq n7apSr1-me,(P2=4:+twki9][5h*)6 050j0D0M0w0P0q0b0t0i0q0w0b0b0I010M0P0x010406050b0k0C0C0w0z0r040y0d0q0k0=0d0u050o0|0~10120`0x041b1i051l0o1l1n1i0`0j0P0m0*0,0.0:0U0P0n0U0q1B0U0M0^050#0h0q0D1w0-0/011A1C1E1C0M1K1M1I0M0h0d0j121J0z1j0M0U0*150b0x0w0u0:0H011O1y010l0%0D0u0w0C0D1I1:1=1`1Q1}1M20220^0a0t0G0z0d0x0d0b0P180u0t0Z1.0z0z0D0i2n1b250u1j0o1,2A0M1*1)1+0j270:1E0u1 2k1I1t1v0+1P2K0P2M0u1$1u1I0x2t1j2y2A2(0{1;2o2S1{2X0z0 0q0^0t0A2x2,0_2+262.1Q2:2=2@0H2`1=2|2y2J01310w2?040t0c352z0`382 0:3b3d0t0J3h372,393n2@0T3r3j3t3l3a0d2;3c2@0X3y2}2-1x303D323e0v3I3k3L3m3N3F3e0f3R3A3T3C3E3o0Q3Z2~3#3v040A0p3*3K2T3$3O0A2_1c2{3z3+3?3-0A343{361k2$1b2Q2D0j2H390i1$231j481m462*432z054d0Z2%3!3?0O0u0^0l2h0C3r3J390N2@4z3S3 4u040 1,4E4r1{4C3e4L3~1{4t0^0P0C2j0z0M3r0t4A3B4H0b0s4Y3y063}3=4S0^0Z0l4Q4/1Q4O4#4l4q4R300l0^0b15170P190b4@390@040F584%0^0w5d3#5a0E4!4$3,0^0h5h3?5j5l4F2/0^0i5q1{5a0W0K3y0t5E4#5u304;5t4M1Q0d0^0I5K4~3m4;0D0q0#5y1Q5a5c4|5m3 5f5X0:5s4|5G5L5S045p5#5H5*0^5k5,5$5v045x5=5.015A5D5F5{1Q0O4U4?5`5?3a5J6a605N04025V0g5Q4^0:0C0P0^3:5 5R610^5C4|065F6z5-6t67042t0M0k0z1a6e6t5a0S0R635E650:6D5U0P692(6B6m6c040j6l396g0I5P6K6Z6o6q5)6u046w2(6y6A6Q6b6D6F6H6J6X6R6;0S6:6g0B6:4H5;706b6g0o6%3B5Z6:6.04427a6f0^0V7e5n045g6s6Z5A6O6x6z716T0(0D6:5a6?3|6_6`604H0z0w0i2V0D0e6$6,6(5O7p5%044)4+7t590^5!2*6b4H7R7(60627x7H7z0^6}6I7V5z0^0S7%2{7175775o7^5M0^767S5e6E7M7O7Q7D0^0W820:7c8f6;7|446b7i7k2{6Y7T047o867q7s7,6L8d5_7l8y5b7484805:8i6g0L8i7K892M8b7!7f8d8I0^7d8u5r7$7h6p7j8T8s8L5(8Q5i8d7w6@1b4o0D2A2#8;471u492D2F2B1#1%2D0w1L8@0o480`940!0$0(04.
Signe
Écrire la fonction signe qui prend en paramètres trois nombres a, b et c (a non nul) et renvoie la chaîne de caractères indiquant le signe de la fonction \(x \mapsto ax^2+bx+c\) sur \(\mathbb{R}\).
La chaîne de caractères renvoyée contiendra :
- le caractère
"+"si la fonction est strictement positive sur un certain intervalle, - le caractère
"-"si la fonction est strictement négative sur un certain intervalle, - le caractère
"0"si la fonction s'annule en une certaine valeur.
Ainsi une fonction s'annulant deux fois et positive à l'extérieur de ses racines sera associée à la chaîne de caractères "+0-0+".
Vous pouvez utiliser la fonction delta du premier exercice dont une version valide est importée dans cet éditeur.
Exemples
>>> signe(1, 2, 1)
'+0+'
>>> signe(-1, 2, 1)
'-0+0-'
>>> signe(1, -3, 1)
'+0-0+'
>>> signe(-1, 3, -3)
'-'
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